Группа

Соответствие, в силу которого каждой паре a, b элементов множества M, взятых в данном порядке, соответствует единственный третий элемент с того же множества M, называется алгебраической операцией, определенной в M.

Используя понятие функции, можно сказать короче, что алгебраическая операция, определенная во множестве M, есть функция, определенная на множестве всех упорядоченных пар элементов M, значения которой принадлежат M.

Примерами алгебраических операций могут служить четыре арифметических действия: сложение a + b = c, вычитание a - b = c, умножение a * b = c, деление a: b = c, рассматриваемые хотя бы на множестве всех действительных чисел, причем в случае деления нужно исключить число 0, деление на которое не определено. Дальнейшими примерами являются сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, сложение векторов по правилу параллелограмма, сложение, вычитание и умножение многочленов и т. д.

Как известно, две или более алгебраических операций могут быть связаны между собою переменой роли данных и искомых элементов. Так, если a + b = c, то c - a = b; если ab = c, то

. Эта связь операций выражает понятие обратной операции, которое в общем виде определяется так:

Пусть дана операция, ставящая в соответствие паре элементов a, b из M элемент c. Те две операции, которые получатся из данной путем перемены в ней роли одного из элементов a, b и элемента c (одного из данных элементов с искомым), называются обратными для данной операции.

Таким образом, первая обратная операция паре c, b ставит в соответствие a, а вторая - паре c, a ставит в соответствие b. Как хорошо известно, обратные операции не всегда существуют или не всегда единственны. Так, для натуральных чисел определены операции сложения и умножения, но обратные операции - вычитание и деление - не всегда выполнимы.

Операция называется коммутативной, если ее применение к парам a, b и b, a всегда дает один и тот же результат. Ниже мы увидим, что если для коммутативной операции существует одна из обратных операций, то существует и другая и обе они совпадают. Для некоммутативной операции это уже неверно.