Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной.

Если непрерывна на отрезке и — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение:

Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку , ,

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

Обозначение:

· — нижний предел.

· — верхний предел.

· — подынтегральная функция.

· — длина частичного отрезка.

· — интегральная сумма от функции на соответствующей разбиению .

· — максимальная длина част. отрезка.

Свойства:

Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем.