Экстремумы функций

Определение 1. Точка называется точкой максимума [ точкой минимума ] функции , если существует такая - окрестность точки , что для всех значений из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называется максимумом (минимумом) функции .

Определение 3. Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума функции , а значения функции в этих точках — экстремумами функции . Теорема 1. Если функция непрерывна в точке , а на промежутке и на промежутке , то является точкой максимума функции . Теорема 2. Если функция непрерывна в точке , а на промежутке и на промежутке , то — точка минимума функции . Теорема 3 (Ферма). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке. Если — точка экстремума функции , то . Теорема 4. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если меняет знак с «» на «» (с «» на «») при переходе через точку , то — точка минимума (точка максимума) функции .