Основные теоремы о пределах

1) Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.

Пусть , Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать и . Следовательно, . Здесь - б.м.ф., как сума б.м.ф. По теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать , т.е.

2) Функция имеет только один предел при

Пусть , Тогда по предыдущей теореме , отсюда А = В.

3) Предел произведения (частного) функций равен произведению (частному) их пределов.

Доказательство аналогичного 1.

4) Постоянный множитель можно выносить из под знака предела.

5) Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.

Теоремы Лагранжа и Коши (доказательство).

Пусть ф-ия непрерывна на промежутке , дифф. на , тогда на существует такая х₀ такая, что верна формула:

Если ее переписать в виде

**************************

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную ф-ию .

1. Она непрерывна на как сумма непрерывных ф-ий.

2. F(x) – дифф. на как сумма дифф. на интервале ф-ий.

3. F(а) = 0; F(b) = 0

Sl: Пусть ф-ия дифф. на , тогда для любой внутренней точки интервала справедлива формула Лагранжа:

х₀ между

Действительно ***************

Из дифф. ф-ии на следует ее непрерывность на

Теорема Коши: Пусть и :

1. Непрерывны на .

2. Дифф. на

Тогда на существует т. х₀, для которой справедлива формула Коши:

Доказывается как теорема Лагранжа.

Правило Лопиталя (доказательство).

1) Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида . Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке. Пусть в окрестностях точки . Если существует предел , то .

2) Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида . Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности , . Если существует предел , то .

Формула Тейлора для f(x) (доказательство).

Для произвольной функции: Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до -го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка такая, что справедлива формула:

, где

- остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранджа

Формула приращений для функции двух переменных.

формула конечных приращений Лагранжа,- формула, выражающая приращение функции через значениепроизводной в промежуточной точке. Если функция f непрерывна на отрезке [ а, b ]числовой оси идифференцируема в его внутренних точках, тогда

К. п. ф. записывают также в виде

Геометрич. смысл К. п. ф.: для хорды графика функции fс концами в точках (а, f(а)), (b, f(b))существует такаяточка x, а<x<b, что касательная к графику функции в точке (x, f(x)) параллельна указанной хорде (см. рис.).

К. п. ф. обобщается на функции многих переменных: если функция f дифференцируема в каждой точкевыпуклой области G n -мерного евклидова пространства, то для каждой пары точек x+Dx= существует такая точка x=(x₁,..., x_n),лежащая на отрезке с концами в точках хи x+Dx, что

Определённый интеграл как предел интегральных сумм.

Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х₀=а, x_1, х_2,..., х_n = В (х₀ <x₁ <...< х_n) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х₀;х₁], [x₁; х₂],..., [х_n-1,х_n] (см. рис. 167).

2. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с_i є [x_i-1; x_i] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с_i).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (с_i) на длину ∆x_i=x_i-x_i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с_i) • ∆х_i.

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆x_i(i = 1,2,..., n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом,

Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования.

Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.

Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).

1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования:

Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа с.

Формула Тейлора для f(x,y)(доказательство).

Достаточные условия экстремума для f(x,y)(доказательство)

Пусть функция f (x) непрерывна в точке x ₀. Тогда:

1) если f¢ (x) < 0 на (a; x ₀) и f¢ (x) > 0 на (x ₀; b), то точка x ₀ – точка минимума функции f (x);

2) если f¢ (x) > 0 на (a; x ₀) и f¢ (x) < 0 на (x ₀; b), то точка x ₀ – точка максимума функции f (x);

Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f¢ (x) < 0 на (a; x ₀) и f (x) непрерывна в точке x ₀, то f (x) убывает на (a; x ₀], и для любого x Î(a; x ₀) выполняется условие f (x)> f (x ₀).

Так как f¢ (x) > 0 на (x ₀; b) и f (x) непрерывна в точке x ₀, то f (x) возрастает на (x ₀; b ], и для любого x Î(x ₀; b) выполняется условие f (x)> f (x ₀).

В результате получается, что при любом x ¹ x ₀ из (a; b) выполняется нера­венство f (x)> f (x ₀), то есть точка x ₀ – точка минимума f (x).

Волновое уравнение. Бегущая и отраженная волна.