![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
При вычислении неопределенного интеграла необходимо вернуться к старой переменной, при вычислении определенного интеграла этого делать не надо.
Замечание. — короткая запись формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры. 1) Рассмотрим интеграл Положим
. Так как t = 0 при
2) Рассмотрим интеграл;
Тогда
при
при t=(Пи). Поэтому
26. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Док-во. Функция является первообразной для функции
, действительно,
Следовательно — формула Ньютона-Лейбница,
или
Формула Ньютона-Лейбница (доказательство).
Если функция f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ], то
![]() | (1) |
где F (x) – первообразная функции f (x):
![]() | (2) |
Формула (1) называется формулой Ньютона–Лейбница.
Доказательство. Сначала покажем, что функция
![]() | (3) |
является первообразной функции f (x).
Согласно определению производной,
![]() | (4) |
С учетом свойства 6,
![]() | (5) |
Тогда
![]() | (6) |
Применяя теорему о среднем к промежутку , представим интеграл в числителе в виде
![]() | (7) |
где и
при
.
Следовательно,
![]() | (8) |
Возвратимся к уравнению (3). Полагая x = a, находим значение постоянной C:
![]() | (9) |
Полагая в этом же уравнении x = b, получаем:
![]() ![]() | (10) |
Таким образом, для вычисления определенного интеграла от f (x) по промежутку [ a, b ] достаточно найти первообразную F (x) функции f (x), вычислить ее в точках a и b и вычесть F (a) из F (b).
Несобственные интегралы. Типы. Сходимость.
Пусть f(x) определена на [a,b) и неограниченна в левосторонней окрестности точки (в точке разрыва 2 рода). Т.е. .
Будем считать, что f(x) интегрируема на [a,b- ],
>0: I=I(
)=
зависщий от переменного верхнего предела.
Df: Несобственный интеграл от функции f(x), непрерывный на промежутке [a,b) и имеющий разрыв 2 рода в т
или несобственный интеграл 2 рода называется предел интеграла I(
):
,
Аналогично звучит df если f(x) имеет ∞ в точке а.
Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (I рода) от непрерывной ф-ии y=f(x) на промежутке [a, ∞) называется предел интеграла.
I(b)= =
Признаки сходимости. Первый признак сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)
Признаки сходимости:
Если функция f(x)>=0 на [a, +∞),то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы
, a<=η<+∞ было ограниченно т.о. существует A>0 |
η
[a, +∞)
<=A
Первый признак сравнения:
Теорема1:
Путь заданы две функции f(x) и g(x), неотрицательные на [a,+∞) и 0<=f(x)<=g(x) x
[a,+∞).
Тогда 1) если –сходится, то
тоже сходится.
2)если - расходится, то
- расходится.
Доказательство:
1)
[a,+∞) т.к. 0<=f(x)<=g(x) имеем интеграл
<=
,
Если - сходится, то по Лемме
-ограничена.
-ограниченные по Лемме.
- сходится
2) Если расходится, то по п.1) интеграл
не может сходится
- расходится.
Теорема2:Предельный признак сравнения.
Пусть f(x) и g(x) неотрицательная на [a,+ ), y(x)
x
[a,+
) и пусть существует конечный предел отношения
, в этом случае
и
сходятся и расходятся одновременно. Ряд g(x) называется функцией сравнения.
Вычисление площади в полярной системе координат.
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом
.
- это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а
- это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).
На рисунке полюс изображен черной точкой, полярная ось – черным жирным лучом, а красная точка определяется углом и расстоянием до полюса
.
На практике очень часто полярную систему координат рассматривают вместе с прямоугольной декартовой, совмещая начала координат и полярную ось с осью абсцисс.
Связь декартовых и полярных координат задается соотношениями и обратно
.
На чертеже красная точка имеет координаты , а в полярной системе координат определяется углом
и расстоянием до полюса
.
В полярной системе координат равенство задает луч, выходящий из полюса и составляющий угол
с полярной осью (
задается в радианах или градусах). Полярная ось задается уравнением
. Равенство
задает окружность с центром в начале координат радиуса C. В свою очередь функция
определяет некоторую линию в полярных координатах.
Обратите внимание, что мы будем считать функцию всегда НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ, так как с геометрической позиции она задает расстояние от полюса до точки для данного значения угла
. Однако, иногда рассматривают и отрицательные значения функции
, так что желательно уточнить у преподавателя его отношение к этому вопросу.
Ниже на рисунке приведены несколько примеров линий в полярной системе координат.
Теперь можно дать определение криволинейного сектора.
Определение.
Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная лучами и некоторой линией
, которая непрерывна на отрезке
.
На чертеже приведены несколько примеров криволинейных секторов.
На последнем рисунке фигура заключена между лучами , но они не являются ее границами.
К началу страницы
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 688 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!