Асимптоты графика ф-ии

В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами.

.Вертикальные асимптоты – прямая называется вертикальной асимптотой графика ф-ии в точке b, если хотя бы один из разносторонних пределов равен бесконечности.

Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю.

********************

Наклонная асимптота – прямая наклонная асимптота ф-ии , если эта ф-ия представлена в виде

Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:

Для существования наклонной асимптоты к графику ф-ии необходимо и достаточно существование конечных пределов:

Доказательство: Пусть:

Пусть:

Следовательно существует асимптота.

Механический смысл производных (векторы скорости и ускорения с примером – движение по окружности).

Неопределённый интеграл, свойства. Замена переменной и интегрирование по частям.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого выполняется равенство (или )

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) + C, где C – постоянное число.

Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение,
х – переменная интегрирования, - знак неопределенного интеграла.

Свойства неопределенного интеграла:

1) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции .

2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной

3) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

5) (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая постоянную производную.

Интегрирование заменой переменной (подстанов­кой). Замена переменной — один из самых эффективных прие­мов интегрирования. Этот прием базируется на следующем эле­ментарном утверждении.

Пусть функция t = φ{χ) определена и дифференцируема на некотором множестве {х} ¹) и пусть {t} — множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции g(t) суще­ствует на множестве {t} первообразная функция G(t), т. е.

(6.3)

Тогда всюду на множестве {х} для функции существует первообразная функция, равная , т. е.

(6.4)

Для доказательства этого утверждения достаточно восполь­зоваться правилом дифференцирования сложной функции ²)

■

и учесть, что, по определению первообразной, G'(t) = g(t). Предположим теперь, что нам требуется вычислить интеграл

(6.5)

В ряде случаев удается выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию t = φ(χ), что имеет место

равенство

(6.6) причем функция g (t) легко интегрируется, т. е. интеграл

просто вычисляется. Доказанное выше утверждение позволяет нам написать следующую формулу для интеграла (6.5):

(6.7)

Этот прием вычисления интеграла (6.5) и называется интегри­рованием путем замены переменной

Примеры …

1°. Вычислить Для вычисления этого интеграла

следует сделать простейшую подстановку t = 2χ, dt = 2dx. В результате этой замены получим

2°. Вычислить Этот интеграл вычисляется посред-

ством замены

При этом получим

3°. Вычислить Легко видеть, что этот инте-

грал вычисляется путем замены t = cos χ. В самом деле, при этом dt = — sin x dx и

.

4.интегрирование по частям в неопределенном интеграле.Примеры

К числу весьма эффектив­ных методов интегрирования относится метод интегрирования по частям. Этот метод основывается на следующем утвержде­нии.

Пусть каждая из функций и(х) и υ(χ) дифференцируема на множестве {х} и, кроме того, на этом множестве существу­ет первообразная для функции v(x)u'(x). Тогда на множестве {х} существует первообразная и для функции u(x)v'(x), при­чем справедлива формула

(6.8)

Замечание. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяет записать формулу (6.8) в. виде

(6.9)

Для доказательства сформулированного утверждения запишем формулу для производной произведения двух функций и(х) и υ(χ)

(6.10)

Умножим равенство (6.10) на dx и возьмем интеграл от обеих частей полученного таким путем равенства. Так как по усло­вию для всех х из множества {х} существует и

(см. свойство 2° из п. 3 § 1), то для всех х из множества {х} существует и интеграл ,

причем справедлива формула (6.8) (или (6.9)).

Формула (6.9) сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению интеграла В ряде конкретных случаев этот

последний интеграл без труда вычисляется. Вычисление интеграла посредством применения формулы (6.9) и называют интегрированием по частям. Заметим, что при конкретном применении формулы интегрирования по частям (6.9) очень удобно пользоваться таблицей дифференци­алов, выписанной нами в п. 2 § 9 гл. 5.

Переходим к рассмотрению примеров.

1°. Вычислим интеграл . Полагая

и используя формулу (6.9), получим

2°. Вычислим далее интеграл Полагая и =

= arctgx:, dv = х dx и используя формулу (6.9), будем иметь

3°. Вычислим интеграл Сначала применим

формулу (6.9), полагая Получим

Для вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу (6.9), полагая на этот раз и = x, dv = sin x dx. Получим du = dx, υ = — cos x,

Таким образом, интеграл вычислен нами посредством двукратного интегрирования по частям. Легко понять, что интеграл (где п — любое целое положительное число) может быть вычислен по аналогичной схеме посредством n-кратного интегрирования по частям.

Таблица неопределённых интегралов (20 интегралов).

, ()

Свойства определённого интеграла. Замена переменной и интегрирование по частям.

Пусть функция задана на отрезке . Рассмотрим разбиение R отрезка точками:

R: . Обозначим

— параметр разбиения. Точка — произвольная.

Составим сумму (интегральная сумма):

Если , не зависящий от разбиения R и выбора , то говорят, что определен интеграл Римана: . Т.е. .

Если (существует и конечен), то функция называется интегрируемой

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой на сегменте [a,b] если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при d стремящихся к 0. Указанный предел I называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается следующим образом

I =

Теорема 10.1. Для того чтобы ограниченная на сегмен­те [а,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось такое разбиение Т сегмента [а, b], для которого

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [а, b]. Обозначим через I предел интегральных сумм этой функции. По определению предела интегральных сумм для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию d(треугольник)< δ, независимо от выбора точек ξi на частичных сегментах разбиения выполняется неравенство

(10.5)

Зафиксируем одно такое разбиение Т. По свойству 1° (см. п. 2 предыдущего параграфа) для данного разбиения Т можно ука­зать такие две интегральные суммы (иными словами, можно так

выбрать точки на каждом частичном сегменте

что

Отметим, что обе интегральные суммы. удовлетворяют неравенству (10.5). Из соотношения

неравенства (10.5) и неравенств

вытекает, что

Необходимость условий теоремы доказана.

Теорема о замене переменной в определенном интеграле.

Пусть интегрируема и непрерывна на , непрерывна и дифференцируема на , причем и , тогда

Док-во. Пусть некоторая первообразная для ,

тогда — первообразная для функции .

Действительно,

По формуле Ньютона-Лейбница, левая часть = , правая часть = ,
т.к. и , то левая часть равна правой части.