Площадь криволинейного сектора - вывод формулы

Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора.

Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом : ( задается в радианах).

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами , что и при .

В силу свойств площади фигуры, площадь исходного криволинейного сектора представится суммой площадей криволинейных секторов на каждом участке разбиения .

Пусть и - наименьшее и наибольшее значение функции на i -ом отрезке . На каждом таком отрезке построим по два круговых сектора и с радиусами и соответственно.

Обозначим P и Q фигуры, являющиеся объединением круговых секторов и соответственно.

Их площади будут равны и , причем .

Так как функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке будет также непрерывна функция . Для этой функции S(P) и S(Q) можно рассматривать аналогично нижней и верхней суммам Дарбу, что приводит нас к равенству

Таким образом, площадь криволинейного сектора находится по формуле .

Определённый интеграл в задачах физики.

Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.

Если f (x, y) = g (h (x, y)), где g − функция одной переменной h, то частные производные равны

Если h (t) = f (x (t), y (t)), то производная находится по формуле

Если z = f (x (u, v), y (u, v)), то частные производные определяются выражениями

Производная по направлению для f(x,y).

Рассмотрим в области D функцию U=U(x,y,z) и (.) M(x,y,z). Проведем из М вектор S, направляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg, где a,b,g-соотв-ие углы. На векторе S на расстоянии ∆S от его начала рассмотрим (.) М1(x+∆x, y+∆y, z+∆z). Таким образом ∆s= . Будем предполагать, что функция U(x,y,z) непрерывна имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. Полное приращение функции представим в виде: ∆U= (1), где Е1, Е2,Е3 – стремятся к 0, при ∆s→0. Разделим все части равенства (1) на ∆s: ∆U/∆s= (2). Очевидно, что , , . Следовательно, равенство (2) можно переписать так: = (3).

Предел отношения при ∆s→0 называют производной от функции U=u(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора S и обозначается т.е: = таким образом, переходя к пределу в равенстве (3) получим:

= (5). Из формулы (5) следует, что зная частные производные, легко найти производную по любому направлению S.

Замечание: Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению.

Необходимые условия экстремума для f(x,y).

Пусть (x ₀, y ₀) является стационарной точкой (т.е. частные производные первого порядка в ней равны нулю). Рассмотрим определитель, составленный из значений частных производных второго порядка в данной точке:

Если D > 0 и частная производная ∂ ² f / ∂x ²(x ₀, y ₀) > 0, то (x ₀, y ₀) является точкой локального минимума.
Если D > 0 и частная производная ∂ ² f / ∂x ²(x ₀, y ₀) < 0, то (x ₀, y ₀) является точкой локального максимума.
Если D < 0, то (x ₀, y ₀) является седловой точкой.
Если D = 0, то для определения типа стационарной точки необходимо дальнейшее исследование.

Градиент функции f(x,y) и его свойства.

Вектор grad U(x,y,z)=(du/dx)|_m0* i +(du/dy)|_m0* j +(du/dz)|_m0* k,(где i,j,k – орты осей координат) называется градиентом U=U(x,y,z) в M₀(x,y,z).

grad U(x,y,z)= =(du/dx;du/dy;du/dz)

Свойства:

1)Производная по направлению S от функции U(x,y,z) в точке M равна проекции градиента в точке М по направлению S.

Док-во

Обозначить через S₀ единичный вектор вдоль оси S, тогда

S₀=cosa*I+cosb* j +cosg* k; du/ds= (gradU, S₀); (gradU, S₀)=|gadU|*|s|*cos(gradU^S₀) =Пр _s0gradU =du/ds

Замечание:если U(x,y,z)-const-повер-т уровня, то вектор grad U = du/dx;du/dy;du/dz будет задаватся координатами вектора нормали(grad является вектором нормали в т.М к пов-ти уровня)

2)Производная в данной точки по направлению S имеет наибольшее значение, если направление S совпадает с направлением градиенты. Это наибольшее знач. Совпадает с модулем градиенты.

Док-во

Du/ds=|gradU|*cosφ, φ=(); max du/ds|φ₌₀ =| gradU |

3)Производная по направлению вектора касательного к поверхности уровня=0.

Док-во

U(x,y,z)=C; du/ds=|gradU|* cosφ, φ=π/2, следовательно du/ds=0;

Определение предела. Предел суммы равен сумме пределов (доказательство).

Определение 1 (на “языке последовательностей”, или по Гейне). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящихся к числу (т.е. ), последовательность соответствующих значений , сходится к числу А (т.е. ).

Определение 2 (на “языке ”, или по Коши). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного найдётся такое положительное число , что при всех x, удовлетворяющих неравенству , выполнится неравенство .

Пусть функция определена на промежутке . Число А называется пределом функции при , если для любого положительного существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнится неравенство .