Условие возрастания и убывания функций. Признак монотонности функции

Функция f(x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x 1)<f(x2).

Функция f(x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x 1)>f(x2).

Для того, чтобы дифференц. на интервале (а, b) функция y=f(x) возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы производная f’(x)>0 ∀x ∈(а, b) и f’(x)<0 ∀x ∈(а, b)

Точки экстремума функции одной переменной.

Точка Xo называется точкой локального экстремума функции f(x), если значение f(Xo) является наибольшим/наименьшим значением функции f(x) в некоторой σ-окрестности т. Xo. При этом, само значение f(Xo) называется локальным экстремумом функции y=f(x)

· Если f(Xo)> f(x) ∀x ∈ σ-окрестности – max

· Если f(Xo)< f(x) ∀x ∈ σ-окрестности – min

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Если функция y=f(x) имеет экстремум в т. X=Xo, то производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Первое достаточное условие экстремума функции одной переменной.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в окрестности точки Xo и имеет в ней производную за исключением, быть может, самой точки.

Если при

X<Xo: f’(x)>0

X>Xo: f’(x)<0

Тогда т. Xo является точкой локального max.

Если при

X<Xo: f’(x)<0

X>Xo: f’(x)>0

Тогда т. Xo является точкой локального min.