Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала

Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.

Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy = f'(x)dx.

Геометрический смысл диффиренциала: дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение D x.

9. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b), f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что f(c) = 0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что

Теорема Коши

Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(x) ≠ 0 на (a, b).

Тогда существует число c (a,b) такое, что