Производные функций, заданных неявно и параметрически

Во многих задачах функция y(x) задана неявным образом. Например, для приведенных ниже функций

невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.

Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:

· Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,
что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;

· Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).

Пример:

Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением

Решение.

Дифференцируем обе части уравнения по x (левую часть дифференцируем как сложную функцию):

Вывод формулы производной параметрически заданной функции.

Пусть определены и дифференцируемы при , причем и имеет обратную функцию .

Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию , аргументом которой является x.

По правилу нахождения производной сложной функции имеем: . Так как и обратные функции, то по формуле производной обратной функции , поэтому .