Обобщенные функции и действия над ними 7 страница

Покажем, что для любого мультииндекса , причем эта операция есть непрерывная операция, то есть из условия следует .

Так как , то, следовательно, , то есть выражение определено. Значит и выражение определено. В правой части равенства (23.1) стоит линейный непрерывный функционал над пространством . Значит, и в левой части равенства стоит также линейный непрерывный функционал. Покажем непрерывность операции дифференцирования.

Пусть . Тогда . Так как , то (как числовая последовательность), следовательно, или .

2) Линейная неособая замена переменных. Пусть и пусть . Определим новый функционал следующим образом: для произвольной основной функции положим

. (23.2)

Предположим, что , то есть линейная замена неособая. Покажем, что линейная неособая замена переменных не выводит из пространства и является непрерывной операцией в этом пространстве. Так как правая часть равенства (23.2) определена для произвольной основной функции и так как , то левая часть (23.2) определена и представляет собой линейный непрерывный функционал.

Покажем непрерывность этой операции. Пусть при . Покажем, что . По определению . Так как то , и, так как , то . А значит, и, следовательно, .

3) Умножение на функцию . Пусть . Покажем, что и эта операция является непрерывной операцией в . Определим функционал следующим образом: для произвольной основной функции положим

. (23.3)

В правой части (23.3) стоит линейный непрерывный функционал над пространством . Значит и в левой части также стоит линейный непрерывный функционал. Покажем теперь непрерывность операции.

Пусть . Покажем, что . По определению . Так как и , то . Так как , следовательно, поэтому .

Таким образом, , что и требовалось доказать.

Замечание. Аналогично тому, как это делается в пространстве , определяется прямое произведение и свертка обобщенных функций, а именно если , то прямое произведение определено следующим образом: для произвольной основной функции

.

Пусть , тогда сверткой называется функционал, определяемый как предел

,

если этот предел существует и не зависит от выбора последовательности .

Теорема (Лоран Шварц). Для того чтобы линейный функционал был непрерывен над пространством необходимо и достаточно, чтобы существовали такая постоянная и такой номер , что для произвольной основной функции справедлива оценка

. (23.4)

Доказательство.

Достаточность. Пусть существуют такая постоянная и такой номер , что выполнено неравенство (23.4).

Докажем, что тогда – непрерывный функционал над пространством . Возьмем произвольную последовательность . Покажем, что . Так как , то для произвольного : . Значит, . В силу неравенства (23.4)

,

то есть . Из этого следует непрерывность функционала .

Необходимость. Пусть линейный функционал непрерывен. Докажем, что существуют , что выполнено неравенство (23.4). Предположим противное, для любого существует основная функция , такая что

, . (23.5)

Рассмотрим . Тогда из (23.5) получим:

. (23.6)

Покажем теперь, что . Возьмем произвольное фиксированное натуральное число , тогда

.

Так как , то можно считать, что . Тогда . Отсюда

.

То есть следовательно, . Так как , то непрерывный функционал и значит , что противоречит неравенству (23.6). Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.

§ 24. Пример обобщенной функции медленного роста

Предположим, что – локально интегрируемая функция. Будем говорить, – функция медленного роста на бесконечности, если существует число , такое что . Очевидно, что любая ограниченная функция является функцией медленного роста на бесконечности.

Действительно, если для любого справедлива оценка , то для

где - размерность пространства.

Покажем, что функции медленного роста является элементом пространства . Действительно,

(24.1)

так как – функция медленного роста, следовательно, интеграл сходится. Мы показали, что выражение определено для любой основной функции . Можно показать, что этот функционал линеен и непрерывен.

Линейность.

Непрерывность. Следует из теоремы Л. Шварца о оценки (24.1).

Пусть . Покажем, что , как числовая последовательность.

Таким образом, , то есть функция медленного роста порождает функцию, принадлежащую .

Замечание. Пространство часто называют пространством обобщенных функций медленного роста.

Определение. Функционал представимый в виде

называют регулярным функционалом над .

§ 25. Финитный функционал из

Определение. Функционал называется финитным, если его носитель есть ограниченное множество, то есть существует шар , такой что .

Обозначим множества финитных функционалов из через . Ранее было показано, что и . Покажем, что .

Теорема. Любой функционал, принадлежащий , порождает единственный функционал из .

Доказательство. Пусть , то есть – финитный функционал. Возьмем функцию такую, что в окрестности носителя и если . Тогда для любой основной функции имеем . Это равенство было доказано ранее.

Определим новый функционал над пространством следующей формулой

. (25.1)

Очевидно, что функционал, определенный этой формулой, линейный. Покажем, что он непрерывен над пространством .

Пусть . Докажем, что . Во-первых, если , то . Таким образом, носители последовательности не растекаются. Во-вторых,

Сходимость последовательности в к нулю доказана.

Так как , то , как числа. Значит, в силу определения формулой (25.1): .

Непрерывность доказана.

Покажем единственность продолжения. Возьмем некоторую другую срезающую функцию , равную 1 в окрестности и построим функционал .

Покажем, что функционалы и совпадают.

Рассмотрим результат действия разности этих функционалов на :

Так как – финитный функционал и в окрестности носителя , то , поэтому для произвольной основной функции

Докажем, что пространство плотно в . То есть для любой основной функции существует последовательность такая, что . Действительно, для любой основной функции достаточно рассмотреть последовательность , где – «срезающая» функция, то есть . Очевидно, Для того, чтобы доказать плотность в покажем, что при , при

Имеем по определению шварцевской нормы

Здесь мы обозначили и воспользовались свойством быстрого убывания на бесконечности элементов пространства . Таким образом, мы показали, что функционалы и совпадают на функциях, принадлежащих , но т.к. пространство плотно в пространстве , то функционалы совпадают на всем .

Из доказанной теоремы следует, например, что так как , эта функция принадлежит .