Обобщенные функции и действия над ними 4 страница

Эта функция является локально интегрируемой функцией, следовательно, можно найти обобщенную производную

Так как , то есть финитна, то , то есть.

где –классическая или обычная производная.

Заметим, что Обозначим . Получаем равенство

.

Мы доказали представление

. (12.1)

Эта формула дает связь между классической производной и обобщенной производной.

§ 13. Свойства обобщенных производных

1. Линейность, непрерывность.

Линейность означает следующее: для любых , любых справедливо равенство

. (13.1)

Доказательство: Возьмем произвольную основную функцию . По определению обобщенной производной имеем

.

Линейность пространства позволяет продолжить равенство следующим образом:

Свойство (13.1) доказано.

2. Непрерывность доказать самостоятельно.

3. Бесконечная дифференцируемость. Необходимо доказать, что для любой функции существует обобщенная производная любого порядка. Последнее утверждение вытекает из определения обобщенной производной и из того факта, что для любого мультииндекса и любой обобщенной функции : (см. § 4).

4. Независимость от порядка дифференцирования.

Необходимо доказать, что для любой обобщенной функции справедливо равенство

. (13.2)

Из определения обобщенной производной, с учетом того, что для мультииндексов справедливо соотношение , имеем

То есть, , следовательно, равенство (13.2) доказано.

5. Формула Лейбница дифференцирования произведения

Пусть и , тогда . Вычислим обобщенную производную этого функционала. Докажем равенство

. (13.3)

Возьмем любую основную функцию . По определению обобщенной производной

что доказывает (13.3).

Аналогичная формула справедлива для обобщенных производных более высокого порядка.

6. При обобщенном дифференцировании носитель обобщенной функции не увеличивается, то есть .

Достаточно доказать, что нулевое множество . Для любой основной функции , такой что по определению нулевого множества . По определению обобщенной производной . Из того, что и следует, что , поэтому , и, следовательно, . Поэтому .

§14. Произведение обобщенных функций

Предварительные рассуждения. Пусть заданы регулярные, например, локально интегрируемые функции

.

Определение. Прямым произведением этих функций назовем функцию аргументов .

Предположим теперь, что .

Определение. Прямым произведением двух обобщенных функций назовем функционал, определенный на любой функции по формуле

. (14.1)

Обозначим . Для того, чтобы правая часть (14.1) была определена, требуется доказать, что .

Для доказательства потребуется следующая лемма.

Техническая лемма. Для любой обобщенной функции и любой основной функции функция принадлежит , причем для любого мультииндекса справедливо равенство . Если в , то в .

Доказательство. Докажем финитность . Так как , то существует , такое что при , то есть если взять при произвольном будет выполнено неравенство , откуда , то есть при получим . Поэтому , то есть – финитна.

Докажем, что . Для этого докажем вначале существование производных Существование производных более высшего порядка будет доказываться аналогично.

Обозначим

– так как – линейный функционал, то справедливо равенство

, (14.2)

где .

Перейдем в (14.2) к пределу при , если он существует, то тем самым будет показано существование производной . Имеем

. (14.3)

Покажем, что существует в . Для этого нужно установить, что

а) (не растекаются), – шар радиуса в ; при этом рассматривается, как функция переменной ;

б) для любого мультииндекса :

.

а) Зафиксируем , тогда так как в , то (см. чертеж) , аналогично,

.

Значит, в при достаточно малых , то есть мы доказали, что носитель не растекается.

б) Покажем, что пределы в определении производных произвольного порядка сходятся равномерно по .

Докажем это утверждение при , при остальных – аналогично. Воспользуемся формулой Тейлора, получим

отсюда

;

так как , то , отсюда

. (14.4)

При правая часть в (14.4) стремится к нулю, причем сходится равномерно по : . Аналогично можно показать, что для любого мультииндекса

.

Таким образом, показано, что в пространстве существует . Так как – линейный и непрерывный функционал, то из (14.3) получим

(в силу непрерывности ).

Аналогично показывается, что для любого мультииндекса : существует производная .

Таким образом, мы показали: есть бесконечно дифференцируемая и финитная функция, то есть , причем для любого мультииндекса справедливо представление .

Первое утверждение технической леммы доказано.

Докажем второе утверждение. Нужно доказать, что если в , то в . Так как носители функций ограничены в независимо от (они не растекаются, так как в ), то как было доказано выше, носитель также ограничен в независимо от .

Таким образом, носители не растекаются, то есть остается показать, что для любого мультииндекса . Предположим, что последнее не выполнено. Тогда существуют , мультииндекс , и последовательность такие, что для любого натурального

(14.5)

Так как носители ограничены в независимо от , то из (14.5) следует, что – ограниченная последовательность, а именно . Действительно, если , то есть находится вне носителя , то неравенство (14.5) не выполнено.

По теореме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность ; тогда так как , то

в , то есть

Последнее противоречит неравенству (14.5). Полученное противоречие доказывает утверждение, то есть если в , то в . Лемма доказана.

Вернемся к определению прямого произведения

.

В технической лемме было показано, что если , то и так как , то выражение определено, то есть определение прямого произведения корректно.

Покажем, что если и , то их прямое произведение принадлежит ; для этого нужно показать, что функция есть линейный непрерывный функционал над пространством .

Линейность. Возьмем любые функции и , тогда

.

Так как , то есть является линейным функционалом над , то

Так как , то

Линейность доказана.

Непрерывность. В технической лемме было доказано, что если в , то в ; так как , то – непрерывный функционал, то есть

.

Это значит, что функционал есть непрерывный

функционал над пространством . Мы показали, что .

§ 15. Коммутативность прямого произведения

Выше было показано, что если , то . Докажем, что . Это равенство означает коммутативность прямого произведения. Для этого покажем, что для любой основной функции ; будет справедливо равенство

.

Докажем вначале это равенство на функции специального вида, а именно на функциях

, (15.1)

где , тогда очевидно, что . Имеем

В силу того, что – величина, постоянная по , представление можно продолжить следующим образом

.

Так как – линейный функционал, то

Аналогично,

Коммутативность на основных функциях специального вида доказана.

Покажем теперь, что множество функций вида (15.1) образуют плотное множество в пространстве , то есть для любой основной функции существует последовательность основных функций специального вида , такая что в .

Тогда рассмотрев равенство

и перейдя в нем к пределу при , получим, что для любой основной функции имеет место представление

.

Последнее равенство означает коммутативность прямого произведения.

Плотность функций вида (15.1) в пространстве будет доказываться с помощью следующей леммы.