Обобщенные функции и действия над ними 6 страница

.

Аналогично

.

Отсюда получаем, что

Таким образом, .

Аналогично доказывается, что .

Пример. Отметим, что существование сверток и , не достаточно для существования свертки и справедливости равенства . Действительно, с одной стороны, если свертка функций и , существует, то по примеру из § 17 , с другой стороны, , чего не может быть. Это означает, что не существует.

§ 19. Свертка с финитным функционалом

Теорема. Пусть – произвольная обобщенная функция, и – финитная обобщенная функция. Тогда свертка существует в и для любой основной функции представляется в виде

, (19.1)

где – любая основная функция, равная 1 в окрестности носителя . При этом свертка непрерывна относительно и в отдельности:

1) если при в , то при в ;

2) если при в и при некотором , то при в .

Доказательство. Пусть при некотором и функция из , равная 1 в окрестности . Возьмем произвольную основную функцию , пусть .

Пусть последовательность функций из сходящаяся к 1 в ,

(см. § 17). Тогда при достаточно больших

. (19.2)

Для доказательства равенства (19.2) достаточно установить, что функция . Это следует из того, что она бесконечно дифференцируемая и ее носитель содержится в ограниченном множестве (см рис.): т.к.

, то . Учитывая теперь соотношение (19.2) и равенство (см. пример 2 из § 10) получаем:

Представление (19.2) доказано. Непрерывность свертки относительно и вытекает из представления (19.2) и из непрерывности прямого произведения относительно и в отдельности. При этом в случае 2 условие дает возможность выбрать вспомогательную функцию , не зависящую от . Теорема доказана.

Обобщенные функции медленного роста

§ 20. Пространство основных функций

Определение. Будем говорить, что , если

1) ;

2) При сама функция и все ее производные убывают быстрее, чем функция при любом .

В силу определения получим, что любая основная функция принадлежит пространству основных функций , то есть .

Сходимость в . Так как – линейное пространство, то достаточно ввести сходимость к нулю. Пусть . Определим норму для по правилу . Можно показать, что норма удовлетворяет аксиомам нормы. Возьмем последовательность основных функций . Будем говорить, что , если для любого : . Заметим, что из определения нормы следует, что , если .

Используя определение , условие 2 в определении пространства можно заменить на следующее условие

) Для любого :

Покажем, что сходимость в сильнее, чем сходимость

в , то есть если при , то . Пусть , то есть по определению:

1) Существует , такое, что для любого номера .

2) Для любого мультииндекса .

Докажем, что в этом случае для любого .

что и требовалось доказать.

Пространство в силу определения шире пространства , это покажет следующий пример.

Пример. Рассмотрим . Очевидно, что бесконечно дифференцируема и убывает на бесконечности вместе со всеми своими производными быстрее любой отрицательной степени , однако, эта функция не принадлежит , так как. не является финитной.

§ 21. Непрерывные операции в

1) Дифференцируемость. Если , то для любого мультииндекса : . Если то . Так как , то следовательно, для любого мультииндекса : .

Оценим норму . По определению

то есть .

Так как , то для любого , любого мультииндекса , отсюда для любого , то есть выполняется условие 2 в определении пространства .

Пусть , тогда для любого , по определению сходимости; т.к. , то для любого , что и требовалось доказать.

2) Линейная неособая замена. Пусть , пусть , причем . Рассмотрим новую функцию . Покажем, что эта функция также принадлежит и что операция замены переменной непрерывна, т.е. из условия следует .

Доказательство. Так как , то следовательно, , как суперпозиция двух бесконечно дифференцируемых функций. Покажем, что для любого выполняется оценка . Для этого достаточно доказать неравенство . Докажем это при , . Имеем

где .

Таким образом, мы показали, что . Докажем непрерывность операции линейной замены переменной. Пусть , тогда так как. и для любого : , то , т.е. , что и требовалось доказать.

3) Умножение на функцию из класса . Покажем, что операция умножения на бесконечно дифференцируемую функцию может вывести из . Возьмем функцию . Рассмотрим , тогда , значит .

Определение. Будем говорить, что функция принадлежит классу , если

1) ;

2) Функция и все ее производные растут на бесконечности не быстрее, чем произвольная степенная функция, то есть для любого мультииндекса и произвольного существуют постоянные , такие что .

Очевидно, что произвольный многочлен принадлежит классу .

Докажем, что умножение на функцию из класса есть операция, непрерывная в т.е. если и , то , причем если , то .

Доказательство. Так как , то и т.к. , то , т.е. . Покажем теперь, что для любого : . Воспользуемся формулой Лейбница

,

получим

и так как , то

, где ,

то есть и справедливо неравенство

. (21.1)

Из этого следует непрерывность операции умножения.

Действительно, пусть , тогда в силу определения сходимости . Из (21.1) следует, что в этом случае и т.к. это условие выполнено для любого , то .

Непрерывность доказана.

§ 22. Пространство обобщенных функций медленного роста

Определение. Множество линейных непрерывных функционалов над пространством называется пространством обобщенных функций медленного роста .

Если и , действие функционала будем обозначать символом .

Очевидно, что всякий функционал над пространством является функционалом над пространством . Действительно, пусть , тогда для любой основной функции определено выражение . Ранее было показано, что . Возьмем произвольную функцию , тогда . Значит, для основной функции будет определено выражение . А это означает, что – функционал над . Покажем, что функционал непрерывен над пространством (линейность очевидна). Действительно, если то (показано раньше) и т.к. , то . Это условие выполняется для любой последовательности основных функций , которая стремится к нулю в : . Значит, непрерывный функционал над . Таким образом, мы показали, что .

Определим сходимость в . Будем говорить, что последовательность , если для любой основной функции выполняется условие (обычная сходимость числовой последовательности).

Можно показать, что пространство вложено в пространство топологически, то есть из сходимости в следует сходимость в (доказать самостоятельно).

§ 23. Непрерывные операции в

1) Дифференцирование. Пусть . Определим новый функционал следующим образом: для произвольной основной функции

. (23.1)