Обобщенные функции и действия над ними 2 страница

.

Здесь и принадлежат , и принадлежит пространству . Так как функционал непрерывный, то из условия следует

(стремление к нулю, как числовой последовательности).

Пример функционала. Рассмотрим локально интегрируемую функцию (функцию, интегрируемую по любому компактному множеству), то есть такую функцию, для которой для любого существует . Зададим функционал следующим образом. Для любой основной функции по определению

. (5.1)

Покажем, что любая локально интегрируемая функция порождает по формуле (5.1) функционал из . Очевидно, равенство (5.1) имеет смысл для любой функции . Действительно,

.

Так как – бесконечно дифференцируемая функция, последнюю оценку можно продолжить. Обозначим через , тогда

.

Мы показали, что равенство (5.1) имеет смысл.

Покажем, что формула (5.1) порождает линейный непрерывный функционал. Линейность.

Линейность доказана.

Покажем непрерывность.

Пусть . Покажем, что . Имеем .

Так как , то

1) Для любого ,

2) Для любого .

В частности, . То есть по любому найдется , такое что для любых будет выполняться . То есть . Таким образом, . Заметим, что последняя оценка не зависит от , и т.к. – любое, то .

Определение. Все функционалы, представленные в виде (5.1), называются регулярными функционалами или регулярными обобщенными функциями.

Определим сумму функционалов по формуле . Тогда очевидно, что . Пусть и . Определим функционал по формуле . Тогда очевидно, что . Следовательно, пространство – линейно.

Будем говорить, что последовательность функционалов сходится к нулю в , если для любой основной функции : .

Будем говорить, что в , если для любой основной функции выполнено . Можно доказать, что – полное пространство.

Доказательство полноты пространства основывается на техническом утверждении, которое будет доказано в следующей лемме.

Лемма о диагональной последовательности. Пусть последовательность обобщенных функций из такова, что для каждой основной функции числовая последовательность сходится при . Пусть последовательность основных функций из стремится к нулю в . Тогда при .

Доказательство. Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда существует подпоследовательность , такая что . Сходимость к 0 в означает, что

а) при при некотором ;

б) при каждом : .

Поэтому, переходя, если нужно, опять к подпоследовательности подпоследовательности , можно считать, что Положим ; тогда

, (5.2)

при в и любой ряд вида , где сходится в ; в то же время

. (5.3)

Перейдем последний раз к подпоследовательности , во множестве индексов исходных последовательностей. Построим подпоследовательности следующим образом. Выберем и такими, чтобы . Это можно сделать в силу (5.3). Пусть и , , уже построены; построим и . Так как в , то и поэтому найдется такой номер , что при всех

(5.4)

Далее, поскольку то найдется такой номер , что при всех

(5.5)

Наконец, в силу (5.3) выберем такой номер , что

. (5.6)

В силу (5.4)-(5.6) построенные и таковы, что

, (5.7)

(5.8)

Положим . По построению, ряд в правой части сходится в и, следовательно, его сумма и . Отсюда получаем, принимая во внимание неравенства (5.7) и (5.8),

Поэтому, , но это противоречит соотношению , что и доказывает лемму.

Теорема (о полноте пространства ). Пусть последовательность обобщенных функций из такова, что для каждой основной функции числовая последовательность сходится при . Тогда функционал , определенный на по формуле также является линейным и непрерывным на , то есть .

Доказательство.

Линейность.

.

Непрерывность. Пусть . Предположим противное, что функционал не непрерывен. Тогда существует подпоследовательность последовательности , такая, что при всех выполнено неравенство при некотором . Так как , то для каждого найдется такой номер , что . Но это невозможно в силу доказанной выше леммы о диагональной последовательности. Полученное противоречие доказывает непрерывность функционала . Теорема доказана.

§ 6. Носитель и нулевое множество обобщенной функции

Рассмотрим регулярный функционал, то есть рассмотрим локально интегрируемую функцию, которая определяет функционал по формуле

. (6.1)

Рассмотрим некоторую область . Предположим, что для любого : . Рассмотрим произвольную основную функцию такую, что . Тогда очевидно, что .

Дадим теперь определения носителя и нулевого множества для произвольной обобщенной функции.

Определение. Будем говорить, что в области , если для любой функции , такой что , выполнено равенство .

Определение. Нулевым множеством функции назовем максимальное открытое множество в , на котором .

Определение. Носителем обобщенной функции называется дополнение в к нулевому множеству, то есть носитель .

Определение. Обобщенная функция называется финитной, если носитель вложен в шар конечного радиуса .

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Если , то . Действительно, в этом случае и значит, по определению, выполнено

§ 7. - функция Дирака

-функция – это обобщенная функция, действующая по правилу – для любой основной функции справедливо равенство . Покажем, что . Очевидно, что – функционал. Линейность этого функционала очевидна, т.к.

.

Докажем непрерывность.

Возьмем произвольную последовательность . Покажем, что . Т.к. то в . Следовательно, , что и требовалось доказать. Следовательно, – это обобщенная функция, принадлежащая .

Найдем носитель этой функции.

Утверждение. .

Для доказательства надо показать, что . Покажем, что , для любой функции . Имеем , т.к. . Т.е. – есть множество, на котором . Очевидно, что это самое большое открытое множество, на котором , то есть – что и требовалось доказать.

§ 8. - функция Дирака, как предел

последовательности основных функций

Рассмотрим «шапочку» Выберем постоянную так, что . Имеем

Произведем замену: , тогда . Если , то

или . Итак, , где . Поэтому, .

Утверждение. при . Нужно показать для любой функции : или

Доказательство.

так как , то непрерывна; значит, для любого существует , такое что из того, что следует Отсюда .

Таким образом, .Что и требовалось доказать.

§ 9. Регулярные и сингулярные обобщенные функции

Определение. Функционал называется регулярным, если существует такая локально интегрируемая функция , что для любой имеет место преставление

. (9.1)

Все функции, не представимые в виде (9.1), называются сингулярными обобщенными функциями.

Покажем, что -функция Дирака является сингулярным функционалом. Для этого потребуется следующая лемма.

Лемма дю Буа-Реймона. Пусть – локально интегрируемая функция и для любой основной функции справедливо равенство

, (9.2)

тогда в .