Обобщенные функции и действия над ними 3 страница

Доказательство. Пусть – произвольная точка . Возьмем некоторый замкнутый шар . По определению из § 6 в этом шаре. Так как при каждом функция , где – «шапочка», принадлежит , то . Таким образом, все коэффициенты Фурье по тригонометрической системе функции , интегрируемой на шаре , равны нулю. Отсюда следует (см. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа, гл. VIII), что эта функция равна нулю почти везде в . Лемма доказана.

Доказательство сингулярности - функции. Предположим, что -функция регулярна, то есть существует локально интегрируемая функция такая, что для любой основной функции

(9.3)

Возьмем , где – вектор; тогда . В силу равенства (9.3) получим:

,

с другой стороны, по определению -функции получим

.

Отсюда получаем, что для любой основной функции :

Так как – локально интегрируемая функция, то локально интегрируемая функция. В силу леммы дю Буа-Реймона получим: п.в. в и, следовательно, в .

Таким образом, для любой основной функции и с п.в. равной нулю функцией .

С другой стороны, если , то .

Мы получили противоречие, которое доказывает утверждение, то есть - функцию нельзя представить в виде (9.3).

Формулы Сохоцкого. Введем линейный функционал , действующий по формуле

Докажем непрерывность этого функционала на . Пусть в , то есть и . Тогда

Таким образом, .

Обобщенная функция называется главным значением интеграла от .

Установим теперь равенство

. (9.4)

Действительно, если при , то

Соотношение (9.4) означает, что существует предел последовательности в , который мы обозначим , и этот предел равен . Итак,

. (9.5)

Аналогично

. (9.6)

Формулы (9.5) и (9.6) называются формулами Сохоцкого. Они используются в квантовой физике.

§ 10. Непрерывные операции в

Определение. Линейная операция называется непрерывной в , если из условия следует .

1) Операция дифференцирования.

Возьмем две функции: . Рассмотрим выражение:

Рассмотрим интеграл по какой-либо переменной, например, по . С помощью формулы интегрирования по частям получим

.

Повторяя эту операцию раз, получим

.

Таким образом, .

Запишем последнее равенство в виде:

. (10.1)

Определим обобщенную производную от функционала с помощью (10.1), то есть обобщенной производной назовем функционал , действующий на по (10.1).

Покажем, что это определение корректно. Равенство (10.1) имеет смысл для любой основной функции , так как и если , то правая часть равенства (10.1) определена.

Покажем, что , то есть что это линейный и непрерывный функционал над .

Линейность:

что и требовалось доказать.

Покажем, что непрерывный функционал. Возьмем последовательность и покажем, что . В силу (10.1) имеем: .

Так как , то (операция дифференцирования есть непрерывная операция в ), т.е. т.к. , то . Отсюда: .

Докажем теперь, что операция дифференцирования есть непрерывная операция в пространстве . То есть докажем, что если , то . Возьмем произвольную функцию . Тогда в силу (10.1)

.

Так как . Так как , то . Отсюда получаем: . Значит, в . То есть операция обобщенного дифференцирования есть непрерывная операция в .

Пример. Рассмотрим функцию Хэвисайда:

– локально интегрируемая функция, значит, есть регулярная обобщенная функция из , действующая по правилам:

.

Найдем производную функции Хэвисайда. В силу (10.1) имеем

.

Мы показали: .

2) Линейная неособая замена переменных.

Предположим, – локально интегрируемая функция. Проведем линейную неособую замену переменной , где – матрица : ; . В результате получим локально интегрируемая функцию . Возьмем любую функцию . Рассмотрим интеграл

(Очевидно, ). Запишем это представление в функциональном виде

(10.2)

Равенство (10.2) возьмем в качестве определения функционала . Этот функционал действует на функцию также как действует на функцию ;

если , то , значит выражение будет определено. Покажем, что . Покажем, что это линейный непрерывный функционал над . Линейность очевидна.

Покажем непрерывность.

Возьмем последовательность . Необходимо показать, что . Воспользуемся равенством (10.2), получим

.

Т.к. операция линейной неособой замены переменных есть непрерывная операция в , то из условия следует .

Так как , то – непрерывный функционал, значит

тогда, . Таким образом, .

Покажем, что операция линейной неособой замены переменной есть непрерывная операция в .

Пусть . Необходимо показать, что

.

В силу равенства (10.2) получим

.

Так как , то . То есть из по определению сходимости в получим, что . Отсюда, или . Непрерывность операции доказана.

Пример 1. Рассмотрим замену . Тогда . То есть в силу равенства (10.2) получим:

. (10.3)

Пример 2. . В силу (10.2) получим:

или .

Пример 3. :

в силу (10.3).

Пример 4. : В силу примера 2:

; .

3) Операция умножения на функцию из

Пусть и . Определим функционал . Предположим, что – локально интегрируемая функция. Тогда для любой функци .

Последнее равенство можно записать в виде

. (10.4)

Равенство (10.4) возьмем в качестве определения функционала в случае произвольной функции . Покажем, что равенство (10.4) определяет обобщенную функцию, принадлежащую , то есть определяет линейный непрерывный функционал.

Так как и , то , то есть правая часть (10.4) определена для любой функции, принадлежащей . Значит, – функционал над пространством . Линейность этого функционала вытекает из (10.4).

Покажем непрерывность.

Пусть . Покажем, что при .

В силу (10.4) получим

Так как операция умножения на функцию из есть непрерывная операция в , то из условия следует . Так как непрерывный функционал над , то . Следовательно .

Покажем, что операция умножения на функцию есть непрерывная операция в . Пусть . Покажем, что . В силу формулы (10.4) получим: . Заметим, что , тогда из условия следует, что . Отсюда или , что и требовалось доказать.

Пример 1. Пусть . Вычислим . В силу формулы (10.4) имеем:

то есть .

Пример 2. Рассмотрим произвольную функцию и бесконечно дифференцируемую функцию такую, что в окрестности носителя . Докажем, что . Достаточно доказать равенство . Возьмем произвольную функцию .

Из (10.4):

= . Заметим, что

В силу ранее доказанного получим .

§ 11. Обобщенная производная по С.Л. Соболеву

Определение. Пусть регулярная обобщенная функция; – локально интегрируемая функция. Обобщенной производной по Соболеву от функции (обозначается ) называется такая локально интегрируемая функция, для которой справедливо равенство:

.

В виде функционала последнее равенство может быть записано следующим образом: . Производная по Соболеву в отличие от просто обобщенной производной определена лишь для локально интегрируемой функции и сама является локально интегрируемой функцией. То есть не для любой функции, принадлежащей существует производная по Соболеву.

Например, рассмотрим функцию . Ранее было показано, что . Заметим, что есть регулярный функционал, то есть локально интегрируемая функция. Обобщенная функция не является регулярным функционалом. Значит, обобщенной производной по Соболеву от не существует.

§ 12. Связь между обобщенной и классической производной

Пример. Рассмотрим функцию, которая один раз непрерывно дифференцируема на всей числовой оси за исключением точки

.