Системы массового обслуживания, состоящие из бесконечного множества приборов

Рассмотрим известную формулу Эрланга — Севастьянова:

для вероятности занятости ровно k линий в телефонной системе с отказами; обозначает интенсивность входящего потока требований (предполагается, что этот поток простейший); — средняя длительность обслуживания; n — число обслуживающих приборов.

Пусть теперь n устремлено к бесконечности. Тогда для распределения числа занятых линий получим выражение

Рассмотрим распределение

Действительно, в бесконечнолинейной системе можно выделить n линий, на которые требования поступают в первую очередь. Для этих n линий они теряются, для системы же в целом остаются. Этим простым приемом установлено взаимно однозначное соответствие между реализациями процессов — числа занятых линий в момент t для системы с n линиями и системы с бесконечным множеством линий; при этом соответствии всегда , причем, очевидно, с положительной вероятностью при любом k 0 возможен случай, когда

В итоге получим

Одностороннюю оценку вероятности отказа n – линейной системы суммой вероятностей соответствующих состояний бесконечно линейной системы.

Пусть имеется система из бесконечного числа приборов; в нее поступает поток требований. В моменты времени, образующие нестационарный пуассоновский поток однородных событий интенсивности , поступают группы требований случайного объема. Обозначим через случайную величину, распределенную как число требований в группе, если эта последняя поступает в систему в момент t. Обозначим

Длительность обслуживания одного требования предположим случайной величиной с функцией распределения Н (х); длительности обслуживания разных требований будем считать независимыми в совокупности.

Обозначим через число требований в системе в момент t. Для нахождения распределения этой случайной величины применим следующий прием, облегчающий выводы такого рода. В любом отрезке (0, Т) нестационарный поток Пуассона является пределом при N -> (в смысле сходимости всех конечномерных распределений) потоков следующего вида. Отметим на интервале (0, Т) случайное число точек () с помощью следующего механизма. Произведем N независимых испытаний. При каждом испытании в интервал (0, Т) может попасть лишь одна точка. С вероятностью она попадает в интервал , а с вероятностью она не попадает в (0, Т). Таким образом, суммарное число точек, попавших в интервал (0, Т), случайно, но не превышает N. Конечно, предполагается, что . С i-й точкой сопоставим группу требований, поступающих в i-й момент времени. Обозначим теперь через число требований в момент t из числа требований, поступивших в i-й момент времени . Очевидно, при при

t ; затем эта функция убывает единичными скачками по мере того, как требования обслуживаются, пока не обратится в нуль. Имеем

причем слагаемые этой суммы независимы в совокупности и одинаково распределены.

Загрузка r системы массового обслуживания определяется формулой r = lt/n, где l — интенсивность входящего потока; t — математическое ожидание длительности обслуживания; т — число приборов. Пусть т®¥, r®1; ищутся условия, при которых средняя длительность ожидания остается ограниченной. Здесь будет рассмотрена простейшая система массового обслуживания, распределения вероятностей состояний которой имеют простое аналитическое выражение. Из этого выражения непосредственно и будет получена предельная теорема. Отметим, что выводы, следующие из этой теоремы, по-видимому, будут иметь силу и в более общих ситуациях.

Теорема. Пусть имеется n-линейная система массового обслуживания с ожиданием; входящий поток — простейший с параметром Я; длительность обслуживания распределена по показательному закону с параметром 1. Тогда, если n®¥и

l=n-c

где с > 0 — некоторое фиксированное число, то средняя длительность ожидания требованием начала обслуживания в стационарном режиме сходится к 1/с при n®¥.

Тема 7. Модели информационных систем, синтез и декомпозиция информационных систем.

1. Модели систем. Множественность моделей систем. Структурные модели систем. Последовательность построения модели сложной системы.

Ответ:

В основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта