Общее определение устойчивости

Пусть внутреннее состояние z рассматриваемой системы является элементом множества Z (фазового пространства). Процесс функционирования определяется законом изменения внутреннего состояния во времени. Будем считать, что функционирование системы определяется некоторым набором конституэнт или параметров а. Понятию «параметр» будет придаваться весьма широкий смысл. В соответствии с этим скажем, что а — элемент множества А, называемого в дальнейшем множеством или пространством параметров. Таким образом, изменение внутреннего состояния во времени z (t, ) зависит от а. При этом где I — совокупность рассматриваемых моментов времени (интервал функционирования системы).

В общем случае функция времени z (t, )является реализацией некоторого случайного процесса. Качество работы любой системы оценивается с помощью функционалов. Поэтому будем считать, что на реализациях z (t, ) при любом а А задано однопараметрическое семейство действительных функционалов

Значение функционала при фиксированном оценивает работу системы до этого момента. При фиксированном и фиксированной реализации z (t, ) функционал является действительной функцией времени .

Рассмотрим множество D всевозможных действительных функций с областью определения I. Пусть — совокупность некоторых подмножеств этого множества. Аналогично, для каждого множества В определим совокупность некоторых подмножеств В, определяемую параметром .

Физический смысл введенных понятий следующий. Если действительная функция принадлежит одному из множеств совокупности , то это характеризует, так сказать, основное свойство выбранного определения устойчивости. Принадлежность же одному из подмножеств совокупности говорит о некоторых дополнительных свойствах, придающих «окраску» понятию устойчивости.