Достаточное условие экстремума

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке . Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то – точка максимума.

Пусть – стационарная точка функции f (x), и существует . Если то – точка минимума; если то – точка максимума функции f (x).

Так, производная функции f (x) = |x| равна –1 при отрицательных x и +1 при положительных x. Функция |x| достигает в точке своего минимума.

В точке = 0 первая производная функции f (x) = – равна f ′ (x0) = –2 = 0, а вторая производная f ′′ () = (–2x)′ = –2 < 0. Функция – + 3 достигает в точке = 0 своего максимума.

График 3.2.2.2.Достаточные условия экстремума. График 3.2.2.3.Достаточные условия экстремума.

Заметим, что в точке x = 0 функции y = вторая производная f ′′ () = 0, однако эта точка является точкой минимума. Можно доказать, что если f ′ (x0) = f ′′ () =... = f (2n – 1) () = 0 и f (2n) () > 0 (f (2n) () < 0), то точка является точкой минимума (соответственно, максимума).

14) Построение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах, переход к полярным координатам.

Свойства двойного интеграла:

· Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D1 и D2, причем

· Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β · g(x, y)] также интегрируема в области D, причем

· Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

· Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то

· Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

(Конечно, из интегрируемости |f(x, y)| в D не вытекает интегрируемость f(x, y) в D.)

· Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

В частности, если функция f(x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (ξ, η), что μ = f(ξ, η), и формула (11) принимает вид

· Важное геометрическое свойство. равен площади области D (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости, данного в пункте Определение и существование двойного интеграла для произвольной области)

Все остальное должно присутствовать в лекции, так как много расписывать из формул.

15) Приложения двойного интеграла.

· Вычисление площадей

· Вычисление объёмов тел

Пусть тело V ограничено (рис. 2.12) сверху —

только одной поверхностью ; снизу — только одной

поверхностью .

Линия L пересечения этих поверхностей проектируется в

границу Г области D, на которой заданы непрерывные функции , .

При этих условиях:

Доказательство формулы (2.17) легко провести на основе геометрического смысла двойного интеграла.

· Центр тяжести плоской фигуры

Если , то координаты и центра С находятся так:

16) Построение тройного интеграла. Свойства тройного интеграла. Сведение к двойному.

1. Физический смысл тройного интеграла

Если f(x; y; z) > 0 на U, то масса M тела переменной плотности γ = f(x; y; z) вычисляется по формуле:

2. Объём тела