Определение. · Пусть дана функция , и — внутренняя точка области определения f

· Пусть дана функция , и — внутренняя точка области определения f. Тогда f называется дифференци́руемой в , если существует окрестность и число такие, что в этой окрестности для f справедливо представление

где o(x − ) обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с x − при Если f дифференцируема в , пишут

· Линейное отображение где A — константа из предыдущего определения, называется дифференциа́лом функции f в точке и обозначается df().

· Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке M(x;y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде Δz = AΔx + BΔy + αΔx + βΔy,

где, и при ,

Свойства:

· Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того

· Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.

· Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть

Обратное, вообще говоря, неверно.

Полный дифференциал

Функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение

в случае, когда оно отличается от полного приращения (См. Полное приращение)

Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)

на величину, бесконечно малую по сравнению с

6) Производная сложной функции. Полная производная.

Производная сложной функции - Если функция u(x) дифференцируема в точке , а функция

y = f(u) дифференцируема в точке = f( ), то сложная функция F(x) = f(u(x)) дифференцируема в точке , причем: F '( ) = f '(u( ))u' ( ).

Полная производная. Теорема:

Пусть на множестве задана дифференцируемая по переменным функция

и функции , ),..:, в свою очередь являются дифференцируемыми функциями m независимых переменных . Тогда функция является сложной дифференцируемой функцией независимых переменных и частные производные от функции w по этим переменным равны:

, где

7) Дифференциал сложной функции.

Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке = u( ), тогда сложная функция

y = f(u(x)) дифференцируема в точке , причем

df(u(x)) = f '(u0)u '(x0)dx.

Так как u '( )dx = du, то df(u(x)) = f '( )du

Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.

Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью).

Следует обратить внимание на то, что инвариантна (неизменна) именно лишь форма дифференциала, так как в содержании формулы дифференциала фкнкции есть существенное отличие от содержания формулы дифференциала от независимой переменной.

u - независимая переменная

y = f(u); dy = f '(u)du; du = Δu