U - функция некоторой переменной x

y = f(u(x)); dy = f '(u)du; du ≠ Δu

так как Δu = du + α(Δx)Δx; α(Δx) - б.м.ф. при Δx→0

Заметим, что дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают.

8) Производные высших порядков сложной функции.

9) Производная неявной функции.

Во многих задачах функция y(x) задана неявным образом. Например, для приведенных ниже функций

невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.

Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:

· Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая, что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;

· Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).

10) Производная по направлению.

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от n аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению e следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора e.

Если направление со направленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

11) Градиент скалярной функции.

u = f (x, у, z), заданной в некоторой области пространства (X Y Z), есть вектор с проекциями обозначаемый символами: grad , где i, j, k — координатные орты. График функции — есть функция точки (х, у, z), т. е. он образует векторное поле. Производная в направлении графика функции в данной точке достигает наибольшего значения и равна:

Направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции. График функции в данной точке перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку.

12) Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P ( ) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка P () принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L, проходящую через точку Р.

Пусть х = х(t), у = у(t), z = z(t) – параметрические уравнения линии L.

Предположим, что:

1) функция F(х, у, z) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю;

2) функции х(t), у(t), z(t) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s, то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x(t), у(t), z (t)] = 0.

Продифференцировав это тождество по переменной t, используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и

в точке P ():

Пусть точке Р соответствует значение параметра , то есть = x ( ), = y ( ), = z ( ). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р, примет вид

Формула представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них – постоянный вектор

не зависящий от выбора кривой на поверхности .

Второй вектор – касательный в точке Р к линии L, а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.

При введённых обозначениях равенство перепишем как . Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы и перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые (см. рис. 54), проходящие через точку Р на поверхности s, мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы

расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к

поверхности s, а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.

Определение 2. Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:

(18)

(18) – уравнение касательной плоскости, построенной в точке P () к поверхности s, заданной уравнением F(х, у, z) = 0;

(19)

(19) – уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s.

13) Экстремум функции нескольких переменных.Необходимое и достаточное условие экстремума.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).