Несобственные интегралы. В этом случае говорят, что данный несобственный интеграл существует или сходится.

Определение 4. Если интеграл стремится к конечному пределу при неограниченном возрастании b, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от f (x) и обозначают символом

.

Таким образом,

В этом случае говорят, что данный несобственный интеграл существует или сходится.

Если указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Рис. 5.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой:

,

где с – любая точка оси Ох.

Таким образом, существует только тогда, когда существует каждый из интегралов:

.

Определение 5. Пусть функция f (x) разрывна в точке b интервала [ a, b ] и непрерывна во всех внутренних точках этого интервала. Если с → b – 0 (c Î (a, b)) и определенный интеграл стремится к конечному пределу, то этот предел называется несобственным интегралом от разрывной функции и обозначается

.

Таким образом, В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Аналогично, если функция f (x) разрывна в точке а интервала [ a; b ], то

Наконец, если функция разрывна в точке d Î (a, b), то

.