Понятию определенного интеграла

ГЛАВА 10

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл и задачи, приводящие к

понятию определенного интеграла.

Определение 1. Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция f (x). Разделим [ a, b ] на части произвольными точками: а = х ₀ < x ₁ < …< x_n = b и на каждом частичном отрезке [ x_i, x_{i +1}] данного разбиения выберем произвольную точку ξ _i. Сумма называется интегральной суммой функции f (x).

Определение 2. Предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма S_n, когда , называется определенным интегралом от функции f на отрезке [ a, b ] и обозначается следующим образом:

.

Число а называется нижним пределом определенного интеграла, а число b – верхним его пределом.

Т е о р е м а 1. Если функция f (x) интегрируема на [ a, b ], то она интегрируема на любом отрезке [ с, d ], содержащемся в [ a, b ].

Т е о р е м а 2 (существования определенного интеграла). Если функция f (x) непрерывна на [ a, b ], то она и интегрируема на этом отрезке.

Т е о р е м а 3. Если функция f (x) имеет на отрезке [ a, b ] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на [ a, b ].

З а д а ч а 1 (о массе неоднородного стержня). Пусть дан линейный неоднородный стержень, лежащий на оси Ох в пределах отрезка [ a, b ].

Требуется определить массу этого стержня. Пусть плотность распределения массы вдоль стержня есть некоторая непрерывная функция от х: ρ (х).

Разобьем стержень на п произвольных частей точками а = х ₀ < x ₁ < … < x_n = b. В пределах каждой части [ x_i, x_{i +1}] выберем по произвольной точке ξ _i.

Так как в пределах [ x_i, x_{i +1}] функция ρ (х) изменяется мало, то массу части стержня, соответствующей отрезку [ x_i, x_{i +1}], можно считать приближенно равной m_i = ρ (ξ _i)∆ x_i, где ∆ x_i = x_{i +1} – x_i. Составим сумму m_n:

которую называют интегральной суммой по определению 1 и которая, очевидно, равна сумме m_i.

Устремим все ∆ х_i к нулю так, чтобы максимальный частичный отрезок разбиения стремился к нулю. Если при этом величина m_n стремится к определенному пределу т, не зависящему от способов разбиения и выбора точек ξ _i, то естественно величину т называть массой данного стержня. Таким образом

З а д а ч а 2 (о площади криволинейной трапеции). Пусть на [ a, b ] задана неотрицательная непрерывная функция f (x). Требуется определить площадь фигуры, ограниченной кривой y = f (x) осью Ох, прямыми х = а и х = b.

Рис. 1.

Разобьем [ a, b ] на п частей точками а = х ₀ < x ₁ <…< x_n = b. Выберем на каждом из полученных частичных отрезков [ x_i, x_{i +1}] по произвольной точке ξ _i, значения функции f (x) в этих точках будет f (ξ _i) и, следовательно, площадь каждого из полученных прямоугольников будет f (ξ _i)∆ х_i.

Составим сумму , которую, по определению 1, называют интегральной суммой и которая, очевидно, равна сумме площадей прямоугольников.

Пусть ,тогда при любом разбиении и выборе точек ξ _i. Таким образом, величина

.

является площадью криволинейной трапеции.

Обе из рассмотренных задач привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного происхождения заданными на [ a, b ]. Эта операция называется операцией интегрирования функции на отрезке, а ее результат – число – называется определенным интегралом от функции на отрезке.