Производная интеграла по переменной верхней границе

Замечание. От обозначения переменной интегрирования значение определенного интеграла не зависит.

Определение 3. Пусть дан интеграл с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пределом х. Тогда величина этого интеграла является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф (х), т. е.

и назовем ее интегралом с переменным верхним пределом.

Исходя из геометрического смысла интеграла, функция Ф (х) представляет собой переменную площадь криволинейной трапеции с основанием [ a, х ], ограниченной

y = f (x), у = 0, t = а и t = x.

Рис. 4.

Т е о р е м а 5 (о связи между производной и интегралом). Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

Замечание. Функция Ф (х) является первообразной для непрерывной подынтегральной функции f (x). Как известно, всякая другая первообразная для f (x) отличается от Ф (х) на постоянную. Таким образом, связь между определенным и неопределенным интегралами заключается в следующем:

.

Т е о р е м а 6 (основная теорема интегрального исчисления). Пусть функция f (x) непрерывна на [ a, b ]. Тогда, если функция F (x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то справедлива формула:

.

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Доказательство. Пусть , тогда по теореме о связи между производной и интегралом функция Ф (х) является первообразной для f (x) на [ a, b ]. Таким образом F (x) и Ф (х) – две первообразные функции f (x) на [ a, b ]. Так как первообразные отличаются на постоянную, т. е.

Ф (х) = F (x) + C, a £ x £ b.

то имеет место равенство

Подставляя в это равенство значение х = а и используя свойство 1, имеем

,

т. е. " х Î [ a, b ]

Полагая х = b имеем