Программа решения системы алгебраических уравнений

n=9;

a=zeros(n);

for i=1:n

a(i,i)=5;

end

a(2,2)=9; a(5,5)=9; a(8,8)=9; a(1,2)=-1; a(1,4)=-2; a(2,1)=-0.5;

a(2,3)=-0.5; a(2,5)=-4; a(3,2)=-1; a(3,6)=-2; a(4,1)=-2;

a(4,5)=-1; a(4,7)=-2; a(5,2)=-4; a(5,4)=-0.5; a(5,6)=-0.5;

a(5,8)=-4; a(6,3)=-2; a(6,5)=-1.; a(6,9)=-2; a(7,4)=-2;

a(7,8)=-1; a(8,5)=-4; a(8,7)=-0.5; a(8,9)=-0.5; a(9,6)=-2; a(9,8)=-1;

disp(a);

b=[100 200 100 0 0 0 200 400 200];

y=b.'; x=lsqr(a,y); disp(x);

lsqr converged at iteration 7 to a solution with relative residual 1.5e-013

62.5000

62.5000

62.5000

75.0000

75.0000

75.0000

87.5000

87.5000

87.5000

Каждое из полученных уравнений соответствует конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов уравнения (6.105). Например, уравнение узла № 5 системы (6.132)

. (6.134)

Уравнение (6.105) для этого узла в конечно- разностном виде записывается как

. (6.135)

Здесь принято во внимание, что на боковых сторонах исследуемой области (рис. 27) заданы условия Неймана. Поэтому дифференциальный оператор по координате задан как среднее значение узлов 4 и 5- на одной стороне, 5 и 6 - на другой стороне области.

Подставляя в это уравнение величины интервалов разбиения пространственных координат и , и выполняя преобразования, получим уравнение (6.134).

Метод конечных элементов может применяться для решения трёхмерных краевых задач[33]. В этом случае в качестве конечных элементов применяются элементы в виде призм или параллелепипедов. Алгоритм получения системы алгебраических уравнений остаётся прежним.

Метод конечных элементов получил широкое распространение для решения краевых задач различного вида. Однако, как справедливо указывается в [22,23], недостатком метода является большой объём подготовительных работ. Поэтому в тех случаях, когда решаются сложные краевые задачи, требующие большого объёма вычислений, предпочитают использовать конечно-разностные методы.