Решив указанную систему методом прогонки, определим значения коэффициентов , после чего рассчитывается искомое решение краевой задачи с использованием выражения (6.17)

Проекционный метод Бубнова-Галёркина (метод Галёркина).

Рассмотрим решение краевой задачи (6.15) методом Галёркина, используя выше принятые положения. Будем считать, что решение краевой задачи представлено в виде разложения (6.17) с коэффициентами (6.18). В этом случае для отдельного интервала решение записывается как (6.20), а коэффициенты разложения для указанного интервала - (6.21)-(6.23).

Согласно рассматриваемому методу, умножим уравнение краевой задачи скалярно на и получим

. (6.37)

Выполним интегрирование первого члена этого выражения по частям, и с учётом заданных краевых условий , , будем иметь

. (6.38)

Рассматривая краевую задачу на отдельных интервалах, уравнение (6.37) с учётом (6.38) записывается в виде суммы отдельных составляющих для каждого интервала

. (6.39)

Выполним интегрирование для отдельных компонентов полученного выражения.

. (6.40)

(6.41)

(6.42)

. (6.43)

. (6.44)

(6.45)

(6.46)

(6.47)

. (6.48)

Подставляя полученные для отдельных интегралов выражения (6.43), (6.47) и (6.48) в уравнение (6.39), группируя коэффициенты при неизвестных , получим уравнение (6.31) с такими же коэффициентами.

Этот вывод не является случайным. В работах по численным методам математики [34] показано, что методы Ритца и Галёркина с использованием финитных носителей приводят к одинаковым уравнениям в случае самосопряжённых операторов. Однако метод Галёркина имеет более широкую область применения, так как может применяться для решения как самосопряжённых, так и несамосопряжённых краевых задач.

Определение коэффициентов алгебраических уравнений связано с вычислением определённых интегралов. При известных функциях эти интегралы могут быть вычислены приближёнными методами с помощью квадратурных формул. Если функции отличаются гладкостью, то при вычислении интегралов их можно заменить средним на интервале значением, после чего вычисление интегралов трудностей не вызывает. Например:

;

;

;

.

Вариационно-разностные методы (Ритца) и проекционно-разностные (Бубнова-Галёркина), реализуемые методами вариационного исчисления, объединены под общим названием: метода конечных элементов.

Методы конечных элементов получили широкое распространение вначале для решения полевых задач строительной механики, а в последние годы - и для решения задач электродинамики [35,36].

Достоинством метода при решении многомерных краевых задач является возможность более точного учёта граничных условий, особенно в том случае, если граница имеет вид сложной пространственной кривой, а также возможность уменьшения порядка системы алгебраических уравнений, получаемой при аппроксимации уравнений краевой задачи. Недостатком метода является большой объём и сложность реализации подготовительных операций.

В основе метода, применительно к решению двумерных краевых задач, лежит следующее положение.

Известно, что равновесная система в любой момент времени находится в таком состоянии, которое соответствует минимуму энергии. Если энергетическое состояние системы описать энергетическим функционалом, то решение краевой задачи может быть сведено к поиску минимума этого функционала.

Положим, что магнитное поле в исследуемой области описывается уравнением Максвелла .

Тогда энергия магнитного поля в указанной области будет состоять из двух компонент:

а) Энергии самого магнитного поля, определяемой величиной напряжённости магнитного поля

. (6.49)

б) Энергии взаимодействия магнитного поля с о сторонними токами,

, (6.50)

где - векторный потенциал магнитного поля.

В этом случае энергетический функционал, характеризующий суммарную энергию магнитного поля

. (6.51)

Решение краевой задачи методами конечных элементов производится в следующей последовательности:

1. Исследуемая область разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Форма конечного элемента может быть выбрана произвольной, однако на практике наиболее часто используются элементы треугольной формы. Операция разбиения исследуемой области на конечные элементы носит название триангуляции.

2. Искомая функция на каждом элементе, и, следовательно во всей области, аппроксимируется пробной функцией специального вида с неопределёнными коэффициентами, значения которых необходимо определить в ходе решения задачи.

3. Принятая аппроксимация подставляется в выражение энергетического функционала.

4. Производится минимизация энергетического функционала путём дифференцирования выражения функционала по неизвестным коэффициентам пробной функции и приравнивания полученного выражения нулю. В результате для каждого конечного элемента получается система алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов аппроксимации.

5. Решая систему алгебраических уравнений для всех элементов исследуемой области, рассчитываются коэффициенты аппроксимирующей функции и значения искомой функции для всех конечных элементов исследуемой области.

Рассмотрим эти вопросы более подробно.

Положим, что векторный потенциал конечного элемента является линейной функцией пространственных координат и описан следующей зависимостью

, (6.52)

коэффициенты которой являются функциями координат вершин (узлов) конечного элемента. Поскольку эта зависимость справедлива для всех точек, принадлежащих данному элементу, она может быть записана и для узлов этого элемента

; (6.53)

; (6.54)

. (6.55)

Полученная система позволяет выразить неизвестные коэффициенты через значения векторного потенциала в узлах. Для этого необходимо решить полученную систему относительно коэффициентов .

; : , (6.56)

где определители записываются в виде

. (6.57)

В этом выражении - площадь треугольника, которая всегда отлична от нуля. В силу этого, решение системы всегда имеет место.

;

(6.58)

; (6.59)

. (6.60)

Обозначив

; ; ; (6.61)

; ; ; (6.62)

; ; , (6.63)

и подставив эти выражения в соответствующие определители, определим коэффициенты

; ;

. (6.64)

Тогда выражение векторного потенциала (6.52) в функции пространственных координат записывается в виде

(6.65)

Рассмотрим далее энергетический функционал, соответствующий уравнению магнитного поля - уравнению Пуассона в прямоугольной области

(6.66)

при нулевых граничных условиях.

Магнитная индукция в исследуемой области может быть выражена через векторный потенциал в виде

,

где

; . (6.67)