Вариационно- разностный метод Ритца

Методы Ритца, использующие функции с финитными носителями, принято обозначать как вариационно-разностные методы. Рассмотрим применение метода Ритца для решения одномерной краевой задачи, записываемой в виде

(6.15)

с однородными граничными условиями .

Решение краевой задачи соответствует поиску минимума функционала [33,34]

. (6.16)

Исследуемая область разбивается на интервалов - конечных элементов, и решение краевой задачи ищется в виде разложения по системе базовых функций

, (6.17)

где

(6.18)

В этом случае минимизируемый функционал может быть представлен суммой отдельных составляющих, записанных для каждого интервала разбиения пространственной координаты

. (6.19)

Запишем уравнение для одной составляющей функционала в точке на интервале . Искомое решение на этом интервале содержит три члена: , , и записывается в виде

, (6.20)

где

на интервале , (6.21)

на интервале , (6.22)

на интервале . (6.23)

Интеграл, входящий в выражение (6.19), может быть представлен в виде суммы двух интегралов для отдельных участков интервала

(6.24)

Производные в этих интегралах

на интервале , (6.25)

на интервале , (6.26)

на интервале . (6.27)

Обозначив первый интеграл (6.24) как , и подставив в него выражения (6.20), будем иметь

(6.28)

Аналогично второй интеграл (6.24)

(6.29)

Условием минимума функционала является равенство нулю его производных по искомым величинам, в данном случае

. (6.30)

Дифференцируя подынтегральное выражение по и группируя подобные члены, запишем уравнение (6.30) в виде

, (6.31)

где

, (6.32)

,

(6.33)

, (6.34)

. (6.35)

Рассчитав коэффициенты уравнений для , для , для , правую часть и используя известные граничные условия, получим систему трёхчленных алгебраических уравнений

, (6.36)

где - матрица с элементами , -вектор неизвестных, -вектор с рассчитанными компонентами .