Решения краевых задач

Конечно-разностные методы предполагают замену дифференциального уравнения системой алгебраических путём аппроксимации дифференциальных операторов конечно-разностными выражениями. Однако такой подход не является единственно возможным. Альтернативным способом получения системы алгебраических уравнений является представление решения краевой задачи в виде разложения по системе базовых функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям.

Аналогичный случай рассматривался ранее при решении уравнения Пуассон методом разделения переменных. Однако в отличие от этого метода, собственные значения и собственные функции дифференциального оператора в общем случае неизвестны. Поэтому коэффициенты разложения не могут быть рассчитаны с использованием простейших выражений. Их определение связано с решением системы алгебраических уравнений, получаемой для различных методов из определённых условий.

Показано [32, 33, 34], что решение краевой задачи с заданными граничными условиями, эквивалентно поиску минимума функционала определённого вида. Эти вопросы рассматриваются разделом математики, называемым вариационным исчислением. Напомним, что функционалом называется объект математики, когда каждой из множества функций, принадлежащих этому объекту, может быть поставлено в соответствие определённое число.

Для решения задач вариационного исчисления, в частности нахождения минимума функционала, наиболее часто используются приближённые методы, к которым относятся методы Ритца и Бубнова -Галеркина. Эти методы, так же, как и конечно-разностные, приводят к системе алгебраических уравнений, решаемых известными методами. Однако, в отличие от них, систему уравнений получают, исходя из следующих соображений:

- метод Ритца, когда указанная система уравнений получается из условия минимума функционала, соответствующего рассматриваемой краевой задаче;

- метод Галеркина, когда система уравнений для коэффициентов разложения определяется из условия ортогональности невязки дифференциального уравнения при принятом разложении решения ко всем членам разложения.

Метод Ритца применим для решения краевых задач с самосопряжёнными и положительно определёнными операторами дифференциальных уравнений.

Напомним, что самосопряжённым уравнением называется дифференциальное уравнение, записываемое в виде

. (6.1)

К самосопряжённому виду путём определённых преобразований может быть приведено любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка [34]

. (6.2)

Дифференциальное уравнение считается положительно определённым, когда все собственные значения дифференциального оператора уравнения положительны.

Идея метода Ритца сводится к следующему. Пусть функционал в области , с граничными условиями на контуре Г, ограничивающем эту область,

на Г (6.3)

записывается в виде

. (6.4)

Как указывалось выше, решение краевой задачи соответствует поиску минимума этого функционала.

Будем считать, что решение представляется в виде разложения по системе пробных функций различного вида, удовлетворяющих заданным граничным условиям. Чаще всего в качестве пробных функций используют степенные или тригонометрические ряды с неопределёнными коэффициентами

. (6.5)

Подставляя указанное разложение (6.5) в выражение функционала (6.4), выполняя дифференцирование, интегрирование и другие, соответствующие функционалу математические преобразования, получим выражение, представляющее определённую функцию коэффициентов разложения .

. (6.6)

Для нахождения минимума функционала, необходимо приравнять производные полученного выражения по искомым коэффициентам нулю

, (6.7)

в результате чего получаем относительно их систему алгебраических уравнений. Решение этой системы позволяет определить коэффициенты разложения и восстановить решение краевой задачи (6.5).

В ряде конкретных задач решение может быть упрощено, если пробные функции являются линейными относительно искомых коэффициентов разложения, вследствие чего уравнения системы (6.7) оказываются первой степени, и для получения необходимой точности число уравнений может быть относительно небольшим.

В методе Галёркина решение краевой задачи также ищется в виде разложения (6.5), а система алгебраических уравнений определяется из условия ортогональности невязки уравнения краевой задачи. Если, например, уравнение краевой задачи с однородными граничными условиями записано в виде

, (6.8)

решение краевой задачи представлено в виде разложения

, (6.9)

где - дифференциальный оператор, а - выбранная система базовых функций, то условие ортогональности записывается как

(6.10)

Или

. (6.11)

Опять получаем систему алгебраических уравнений, позволяющую определить коэффициенты разложения и восстановить искомую функцию .

Недостатками рассмотренных «классических» способов решения краевых задач является сложность их реализации для получения необходимой точности. Поэтому в настоящее время эти методы подверглись совершенствованию, направленному на упрощение построения системы алгебраических уравнений. Основной идеей совершенствования является использование в качестве базовых функций - функций с финитным (конечным) носителем, т.е. функций отличных от нуля лишь в окрестности рассматриваемой точки. В этом случае число членов каждого уравнения системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения будет определяться числом точек, принадлежащих финитному носителю базовой функции, а члены уравнения, соответствующие точкам за пределами носителя, будут равны нулю.

Примем для упрощения область определения решения краевой задачи одномерной. Разобьём указанную область на конечное число интервалов и для каждого - интервала введём функцию

(6.12)

Эта функция отлична от нуля на интервале , состоит на нём из двух линейных участков и достигает максимума, равного единице при (рис 25).

Рис.25. Базовая функция c финитным носителем

Подобно тому, как указывалось в п. 1.2, любую непрерывную кусочно-линейную финитную функцию можно представить в виде разложения по системе единичных базовых функций, причём в качестве единичных выбрать функцию (6.1):

, (6.13)

где коэффициенты равны значениям функции в точках .

Рассмотрим свойства базовой функции (6.12), определив её скалярное произведение

(6.14)

Из выражения (6.14) следует, что функция ортогональна всем функциям , кроме , , . Поэтому алгебраические уравнения, описывающие коэффициенты разложения , будут содержать всего три члена. Таким образом, использование базовых функций с финитными носителями позволяет значительно упростить структуру получаемой системы уравнений, и применить для её решения рассмотренные ранее методы.