Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых САР

Зная логарифмические частотные характеристики отдельных динамических звеньев и пользуясь методикой их построения, сравнитель­но просто можно построить логарифмические частотные характеристики для разомкнутых САР.

Рассмотрим правила построения логарифмических частотных харак­теристик группы последовательно соединённых элементов. Так как при последовательном соединении звеньев

,

то, логарифмируя это равенство, можно записать

,

где L_i(ω) - ЛАЧХ отдельного звена.

Точно также логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) разомкнутой системы определяется

,

Числитель и знаменатель передаточной функции САР могут быть представлены в виде отношения полиномов

,

либо в виде отношения их разложений на элементарные множители

т.е. в общем случае может состоять из статических пропорциональных, апе­риодических и колебательных звеньев, а также интегрирующих и диффе­ренцирующих звеньев. Подставляя ϳω вместо можно получить частотную передаточную функцию системы W(jω). При использовании ЭВМ построение ЛАЧХ и ЛФЧХ не составит труда в любом случае. Однако разложение на множители передаточной функции позволяет построить асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ практически без вычислительной работы.

В этом случае ЛАЧХ найдется

Для упрощения дальнейших построений запишем последнее выраже­ние в виде

Легко можно показать, что каждое слагаемое полученного выражения есть либо прямая линия, либо асимптотически приближается к прямым линиям при устремлении частоты к нулю и бесконечности. Наклон аппрок­симируемых прямых всегда кратен 20 дБ/дек.

Можно получить также следующее выражение для ЛФЧХ системы:

Как следует из последних выражений, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой систе­мы при последовательном соединении звеньев могут быть получены путем суммирования ординат и характеристик отдельных звеньев. В качестве при­мера рассмотрим построение характеристик СAP при последовательном соединении одного интегрирующего и двух инерционных звеньев (рис. 4.21).

Логарифмические частотные характеристики данной системы могут быть построены более упрощенно без построения характеристик отдель­ных звеньев (рис. 4.22). Для этого воспользуемся следующей методикой.

1. Определяются и наносятся на ось частот полулогарифмической сетки сопряженные частоты звеньев. Для рассматриваемого примера со­пряжённые частоты звеньев находятся

.

При ω =1 откладывается ордината ЛАЧХ, равная 20lg k, где k - суммарный передаточный коэффициент последовательно соединенных звеньев, т.е.

.

На оси абсцисс удобно указывать наряду с lg ω непосредственно и зна­чение ω.

2. Через полученную точку А проводится низкочастотная часть ЛАЧХ, т.е. участок ЛАЧХ, расположенный левее наименьшей сопряжённой частоты. Эта часть характеристики имеет наклон, равный 20(m-r) дБ/дек, где m - число дифференцирующих, а r - число интегрирующих звеньев. Указанный уча­сток характеристики проводится слева направо до пересечения с вертикаль­ной прямой, проходящей через наименьшую сопряжённую частоту (в нашем случае ω₂). Если в схеме отсутствуют интегрирующие и дифференцирующие звенья (множители p в знаменателе и числителе), то проводится прямая, параллельная оси абсцисс. В рассматриваемом примере наклон этого участ­ка ЛАЧХ равен 20(0-1)=-20 дБ/дек.

3. При частоте сопряжения ω₂ производится излом асимптоты ЛАЧХ в со­ответствии с типом звена, которому принадлежит данная сопрягающая часто­та. Частота ω₂ соответствует инерционному звену, поэтому наклон характери­стики изменяется на—20дБ/дек, т.е. становится равным -40дБ/дек. Участок ЛАЧХ с этим наклоном проводится до следующей сопрягающей частоты ω₃. Следует заметить, что при дифференцирующем звене наклон изменяется на +20 дБ/дек, а при колебательном звене - на -40 дБ/дек. Для колебательного звена при необходимости производится поправка, т.е. строится реальная ЛАЧХ в области частоты сопряжения.

При частоте ω₃=1/T₃ наклон характеристики опять изменится на -20 дБ/дек и станет равным -60 дБ/дек.

Таким же образом характеристика L(ω) продолжается в сторону уве­личения частоты, претерпевая последовательно изломы на каждой сопря­гающей частоте.

Построение логарифмических фазовых частотных характеристик ЛФЧХ последовательно соединённых звеньев выполняется либо при по­мощи специальных лекал, либо табличным способом, который во многих случаях оказывается и более простым, и более точным.

Для рассматриваемой системы суммарная фаза разомкнутой системы определится по выражению

.

Расчет фазовой частотной характеристики производится в виде сле­дующей таблицы.

Частота ω, 1/с	φ1(ω)	φ2(ω)	φ3(ω)	φ∑(ω)

Расчет производится в диапазоне от ω_min до ω _max, где ω_min=0,1ω₂=0,1∙1/T₂, ω_max=10ω₂=10∙1/T₃. Этим диапазоном будет определяться полоса пропускания частот системы.