Построение частотных характеристик разомкнутой системы по частотным характеристикам звеньев

По передаточной функции системы можно вычислить ее частотные характеристики. Это же можно выполнить и графически. Напри­мер, если задана передаточная функция системы

, (4.21)

то можно записать

.

При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а ар­гументы (фазы) складываются. Поэтому модуль суммарного вектора будет

.

Вышенаписанное выражение для W(ϳω) позволяет находить суммар­ную АФХ W(ϳω) по характеристикам отдельных звеньев.

,

где W_i(ϳω) - амплитудно-фазовая частотная характеристика i -го звена.

Отсюда амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы определится

(4.22)

и фазовая частотная характеристика

. (4.23)

На рис. 4.18 приводится построение АФХ разомкнутой системы по АФХ от­дельных звеньев. Построение АФХ разомкнутой системы при последователь­ном соединении звеньев производится по амплитудно-фазовым характери­стикам отдельных звеньев в соответствии с выражениями (4.22) и (4,23).

Построение представлено на рис. 4.18. Здесь А₁(ω) и А₂(ω) - модули АФХ

при определенной частоте, а φ₁ и φ ₂- аргументы (фазы) при той же

частоте. Суммарный модуль ра­зомкнутой системы определяется .

Проделав аналогичное по­строение для других частот при изменении их от ω=0 до ω=∞, можно получить АФЧХ всей сис­темы в целом.

Можно показать, что, если для одного инерционного звена АФХ W_i(ϳω) имеет вид, приведен­ный на рис, 4.19, а, то при последо­вательном соединении двух звеньев на рис. 4.19, б и для трех звеньев рис.4.19, в.

Добавление инерционного звена с передаточной функцией

означает поворот вектора по фазе на угол, равный φ(ω)=- arctg ωT. Следовательно, максимальный фазовый угол час­тотной характеристики растет по мере увеличения в системе числа инерционных звеньев. Очевидно, что эта тенденция роста фазового угла должна наблюдаться также и при увеличении числа колеба­тельных звеньев в системе.

Включение одного интегри­рующего звена, имеющего АФХ, совпадающую с мнимой осью в ее отрицательной части, приводит к поворо­ту всех векторов характеристики на угол, равный -90°, по часовой стрелке при одновременном умножении их модулей на модуль интегрирующего зве­на, т.е. на k/Tω где k и T- параметры звена. Например, если система имеет АФХ 1, представленную на рис. 4.20, то при последовательном включении одного интегрирующего звена с характеристикой 2, получим суммарную характеристику 3.

Последовательное включение двух интегрирующих звеньев в однокон­турную систему, составленную из инерционных и колебательных звеньев, приводит к повороту всех векторов АФХ на угол, равный ≈180°, т.е. создаёт большое фазовое отставание выходного сигнала от входного.