Интегрирование рациональных дробей. Т е о р е м а 6. Пусть дана правильная рациональная дробь

Т е о р е м а 6. Пусть дана правильная рациональная дробь

Если , то дробь может быть представлена в виде

(9.3)

Разложение (3) называется разложением рациональной функции на элементарные (простейшие) дроби. Чтобы определить числа

правую часть разложения приводят к общему знаменателю и числители левой и правой дробей приравнивают. Так как равенство между многочленом и многочленом, который получится в правой части, справедливо для всех х, то коэффициенты при одинаковых степенях х этих многочленов равны между собой. Таким образом, получим ряд уравнений первой степени, из которых найдем неизвестные числа. Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби , т. е.

.

Интеграл от рациональной дроби вычисляется согласно следующим основным правилам:

1. Если рациональная дробь неправильная, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

2. Разлагают знаменатель правильной рациональной дроби на множители.

3. Правильную рациональную дробь раскладывают на сумму простейших дробей, т. е. сводят интегрирование правильной рациональной дроби к интегрированию простейших дробей.