П р и м е р

Проверка.

Замечание. Нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, т. к. сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

II. Метод замены переменной или способ подстановки. Пусть f (x) непрерывна на (а, b) и х = φ (t) дифференцируема на (α, β); причем функция φ отображает (α, β) в (а, b). На основании свойства независимости неопределенного интеграла от выбора аргумента, и учитывая, что dx = φ¢(t) dt, получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле

(1)

Интеграл, стоящий в правой части (1) может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным.

Итак, для вычисления с помощью подстановки х = φ (t) надо в функции f (x) заменить х на φ(t) и положить d x = φ¢(t) d t. При этом получаем искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо t заменить значением t = y(x), которое находится из соотношения х = φ (t).

Иногда формулу (1) удобно применять справа налево, т. е.

или

где t = φ(x).

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь ввиду следующие правила:

а) Если то .

б) Если то .

в) Если то .

III. Интегрирование по частям. Пусть U = U (x) и V = V (x) –две функции от х, имеющие непрерывные производные. Тогда

(2)

В равенстве (2) произвольной постоянной не пишем, т. к. в правой части формулы остался неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Формула (2) называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление исходного интеграла к вычислению интеграла, который во многих случаях оказывается более простым. Иногда для получения окончательного результата необходимо интегрирование по частям применять последовательно несколько раз.

Группы интегралов, вычисляемые по формуле интегрирования по частям: