Первообразная функции

ГЛАВА 9

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная функции.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной

f ¢(x) или df = f ¢(x) dx

функции f (x).

В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f (x) требуется найти такую функцию F (x), что

F ¢(x) = f (x) или dF (x) = F ¢(x) dx = f (x) dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F (x) по известной производной (дифференциалу) этой функции.

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором множестве, если она дифференцируема на этом множестве и F ¢(x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx.

Т е о р е м а 1. Любая непрерывная на [ a; b ] функция f (x) имеет на этом отрезке первообразную F (x).

Т е о р е м а 2. Если F ₁(x) и F ₂(x) – две различные первообразные одной и той же функции f (x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е.

F ₂(x) = F ₁(x) + C,

где С – постоянная.

Доказательство. Пусть F ₁(x) и F ₂(x) – первообразные функции f (x). Их разность F (x) = F ₂(x) – F ₁(x) является дифференцируемой функцией. Следовательно,

т. е. F ₂(x) – F ₁(x) = С.

Следствие. Если F (x) – некоторая первообразная функции f (x), то все первообразные этой функции определяются выражением F (x) + C, где С – произвольная постоянная.

Определение 2. Операция отыскания первообразной F (x) функции f (x) называется интегрированием.

Определение 3. Совокупность F (x) + C всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом и обозначается

где f (x) d x – подынтегральное выражение,

f (x) – подынтегральная функция,

х – переменная интегрирования,

С – постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная – подынтегральной функции.