Вычисление координат точек пересечения двух окружностей

Пусть заданы две окружности своими уравнениями: (X-X_A)²+(Y-Y_A)²=S²_A; (X-X_B)²+(Y-Y_B)²=S²_B. При этом точка А с координатами (X_A;Y_A) есть центр первой окружности, а S_A -радиус этой окружности. Соответственно точка В с координатами (X_B;Y_B) - центр второй окружности, а S_B -радиус второй окружности.

Определение координат точек пересечения этих окружностей (а их в общем случае две) можно получить решением представленных уравнений. Однако, с точки зрения вычислительной, такой метод решения является достаточно трудоемким. В связи с этим воспользуемся несколько иным приемом и будем вычислять не координаты искомых точек, а приращения координат относительно центров заданных окружностей.

Рассмотрим внимательно рис. 2.3. Для определения координат т. Q необходимо знать дирекционный угол направления AQ ирасстояние между этими точками А и Q. Решая прямую геодезическую задачу, мы можем найти координаты точки Q.

Расстояние от точки А до точки Q известно - это радиус первой окружности S_A. Дирекционный угол направления AQ может быть вычислен по формуле

α_AQ=α_AB-β_A (2.13)

Если искомая точка Q находится СЛЕВА от исходного направления АВ, то дирекционный угол получают как РАЗНОСТЬ;

Если искомая точка F находится СПРАВА от исходного направления АВ, то дирекционный угол получают как СУММУ.

Второе правило мы будем использовать при нахождении дирекционного угла направления AF:.

α_AF=α_AB+β_A (2.14)

Дирекционный угол α_AB направления АВ получим из решения обратной геодезической задачи по известным координатам точек А и В. Остается решить вопрос относительно вычисления угла β_A.

Аналогичные рассуждения мы можем провести по поводу вычисления приращений координат по линиям BQ и BF. Длины линий BQ и BF равны радиусу второй окружности S_B, а дирекционные углы этих направлений могут быть вычислены по формулам:

α_BA=α_BA+β_B; (2.15)

α_BF=α_BA-β_B. (2.16)

Рис.2.3. Определение координат точек пересечения двух окружностей.

Обратите внимание на знаки, с которыми угол β_B входит в эти формулы!

Вспомните, как вычислить дирекционный угол α_BA, если известен дирекционный угол α _AB.

Здесь также остается открытым вопрос о величине угла β_B.

Вычисление этих углов может быть осуществлено по формулам:

(2.17)

(2.18)

Вспомните, почему треугольники AKQ и BKQ - прямоугольные!

Учитывая, что для указанных треугольников QK - общий катет, можем записать следующее равенство:

S²_A-AK²=S²_B-BK².

Приписав к последнему равенству очевидное равенство

AK+BK=AB,

получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решив эту систему (решение выполнить самостоятельно), получим

(2.19)

(2.20)

Контроль вычислений можно осуществить по формуле AK+BK=AB.

Применяя формулы (2.17) и (2.18), вычисляем вспомогательные углы βи β_B. Затем по формулам (2.14) - (2.16) вычисляем дирекционные углы направлений AQ, AF, BQ и BF. Далее по формулам

вычисляем приращения координат и с контролем координаты точек Q и F.