Оценка остатка знакопеременного ряда

Пусть есть остаток знакопеременного ряда после п -го слагаемого.

Пусть . Тогда имеем:

.

Проделаем с этим выражением преобразования, аналогичные тем, которые проделывались с частными суммами. Группируя слагаемые так

получаем, что . Группируя слагаемые так

получаем, что . Окончательно имеем

Пусть . Тогда имеем:

.

Но тогда

и все предыдущие рассуждения повторяются слово в слово. В этом случае .

Оба полученных неравенства можно объединить в одно

.

Словами его часто формулируют так: остаток знакопеременного ряда меньше первого отброшенного слагаемого.