![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
При расчете многих рам (рис. 1.11 а), а также различных комбинированных систем, например в виде рам с элементами арочного типа
(рис. 1.11 б), использование какого-либо одного из классических методов (сил или перемещений) оказывается выгодным для одной части системы и невыгодным для другой. В этом случае рациональнее прибегать к методу сил для расчета одной части и методу перемещений для другой.
а | ![]() | б | ![]() |
Рис. 1.11
Метод расчета, при котором одна часть неизвестных представляет собой силы, а другая - перемещения, получил название смешанного метода. Он является результатом синтеза методов сил и перемещений, используется для расчета стержневых систем, имеющих в одной части большое количество лишних связей и низкую степень кинематической подвижности, а в другой, наоборот, - небольшое число лишних связей и высокую степень кинематической подвижности.
Возникновение смешанного метода связано главным образом со стремлением уменьшить число основных неизвестных, а значит, и количество разрешающих алгебраических уравнений. В условиях ручного счета это обстоятельство было основным при определении трудоемкости расчета. В настоящий период при современном развитии ПЭВМ и наличии огромного числа всевозможных стандартных и универсальных программ решения систем линейных алгебраических уравнений и расчета различных стержневых систем оно потеряло свою актуальность. Тем не менее смешанный метод, как и методы сил и перемещений, используется для «ручного» расчета стержневых систем, имеющих сравнительно невысокую степень статической неопределимости.
Как было отмечено выше, основная система смешанного метода содержит элементы методов сил и перемещений одновременно. При расчете некоторых стержневых систем удобно комбинировать вышеназванные методы (без их объединения в одной основной системе). Подобный способ называют комбинированным способом расчета.
Он предназначен для расчета симметричных стержневых систем и заключается в разложении произвольной нагрузки на симметричную и кососимметричную составляющие, с последующим расчетом системы на действие каждой из них методами перемещений и сил соответственно. При этом рассматриваемая задача представляется в виде суммы двух более простых задач.
В заключение рассмотрим примеры выбора рационального метода расчета для схем статически неопределимых стержневых систем
(рис. 1.12). Для выбора рационального метода расчета найдем общее число неизвестных по методам сил и перемещений.
а | ![]() | б | ![]() | ||||||
в | ![]() | г |
![]() | ||||||
д |
![]() | е |
![]() | ж |
![]() | ||||
Рис. 1.12
Для расчета системы (рис. 1.12 а) по методу сил ; по методу перемещений -
. В случае действия на раму произвольной нагрузки наиболее рациональным будет комбинированный метод (рис. 1.13 а). При этом на симметричную составляющую нагрузки производится расчет методом перемещений (
), а на кососимметричную - методом сил с использованием групповых неизвестных.
а |
![]() |
![]() | б |
![]() | |||||
в |
![]() | г |
![]() |
![]() | |||||
д |
![]() | е |
![]() | ж |
![]() | ||||
Рис. 1.13
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,((((((((((((((((((((((((((((((
Продолжение табл. 4
Схема | Уравнения равновесия | Величина коэффициента |
Состояние 3 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Состояние 1 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Состояние 2 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
Состояние 3 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
Состояние 1 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Состояние 2 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Состояние 3 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Окончание табл. 4
Схема | Уравнения равновесия | Величина коэффициента | |
Грузовое состояние
(эпюра ![]() | |||
![]() |
![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Грузовое состояние
(эпюра ![]() | |||
![]() | ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Грузовое состояние
(эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Подставив значения коэффициентов в систему канонических уравнений, получим одно уравнение с симметричным неизвестным и систему двух уравнений с кососимметричными неизвестными, независимых друг от
друга:
;
В результате решения находим значения неизвестных:
,
,
.
Действительную (окончательную) эпюру (рис. 3.13 г) строим способом наложения, складывая грузовую
и исправленные эпюры
(рис. 3.13 а-в).
а |
![]() | б |
![]() |
в |
![]() | г |
![]() |
Рис. 3.13
Выполняем статическую проверку эпюры . Для этого вырезаем узлы 4 и 5 на эпюре
(рис. 3.14) и рассматриваем их равновесие.
а | б |
![]() | ![]() |
Рис. 3.14
Задача 3. Для рамы (рис. 3.15) построить эпюры ,
,
методом перемещений и выполнить необходимые проверки.
а | ![]() | б |
![]() | |
в |
![]() | |||
Рис.3.15
Решение. Определим число неизвестных метода перемещений. Число неизвестных углов поворота , так как заданная рама имеет два жестких узла. Для определения числа независимых линейных смещений
врезаем во все жесткие узлы рамы (рис. 3.15 а), включая опорные, шарниры. В итоге рама превращается в шарнирно-стержневую систему (рис.3.15 б).
Для того чтобы преобразовать шарнирную схему в геометрически неизменяемую систему, достаточно ввести один опорный стержень, препятствующий горизонтальному смещению узлов 3, 4. Таким образом, заданная рама имеет одно независимое линейное перемещение:
. Общее число неизвестных
, т.е. рама трижды кинематически неопределима.
Образуем основную систему метода перемещений. Для этого введем в жесткие узлы 2, 3 дополнительные упругие заделки, препятствующие повороту узлов, а по направлению линейного смещения (вдоль ригеля рамы) - горизонтальную связь, препятствующую ему (рис. 3.15 в). Обозначим неизвестные: углы поворота упругих заделок - ,
, линейное смещение -
(рис. 3.15 в).
Запишем систему канонических уравнений метода перемещений:
Для определения ее коэффициентов строим единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов в основной системе. Для единичных эпюр ,
,
используем табл. 1, задавая упругим заделкам единичные углы поворота
,
по ходу часовой стрелки (рис. 3.16 а), а по направлению введенной линейной связи - перемещение
(рис. 3.16 б). Грузовая эпюра
имеется только на тех стержнях, к которым приложена внешняя нагрузка (рис. 3.16 в).
а |
![]() | б |
![]() |
в |
![]() | г |
![]() |
Рис.3.16
Найдем единичные и грузовые коэффициенты первого (,
,
,
), второго (
,
,
,
) и третьего (
,
,
,
) уравнений, рассматривая соответственно равновесие узлов 2, 3 и горизонтальной отсеченной части рамы. Результаты сведем в табл. 5.
Таблица 5
Схема | Уравнения равновесия | Величина коэффициента |
Состояние 1 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Состояние 2 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Состояние 3 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Состояние 1 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Состояние 2 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() |
Состояние 3 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() |
Окончание табл. 5
Схема | Уравнения равновесия | Величина коэффициента | ||||
Состояние 1 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() | ||||
Состояние 2 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() | ||||
Состояние 3 (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() | ||||
Грузовое состояние (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() | ||||
Грузовое состояние (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() | ||||
Грузовое состояние (эпюра ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() | ||||
Подставим значения коэффициентов в систему уравнений:
Решим систему уравнений, используя ПЭВМ:
;
;
.
Проверим правильность решения, подставив его значения в систему уравнений:
Действительную (окончательную) эпюру строим сложением грузовой эпюры
(рис. 3.16 г) и исправленных эпюр (рис. 3.17 а-в).
а |
![]() | б |
![]() |
в |
![]() | г |
![]() |
Рис.3.17
Выполним статическую проверку окончательной эпюры моментов . Для этого вырежем узлы 2, 3 (рис. 3.18 а, б) и рассмотрим их равновесие.
а |
![]() | б |
![]() |
Рис. 3.18
![]() |
Для кинематической (деформационной) проверки строим эпюру от силы
в выбранной по методу сил основной системе (рис. 3.19). «Умножив» ее на окончательную эпюру
, определим перемещение по направлению
:
.
Погрешность равна .
Построим эпюры и
. Определим поперечные силы, используя дифференциальные зависимости
от
:
.
Тогда
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() |
Продольные силы найдем по известным величинам поперечных сил, исходя из условий равновесия узлов рамы (рис. 3.20 а, б).
а |
![]() | б |
![]() |
Рис. 3.20
Эпюры и
показаны на рис. 3.21 а, б.
а |
![]() | б |
![]() |
Рис. 3.21
![]() |
Выполним окончательные проверки эпюр ,
,
(равновесие рамы в целом). Для этого рассечем раму замкнутым сечением на уровне опор и рассмотрим равновесие отсеченной части
(рис. 3.22).
Составим три уравнения равновесия:
:
;
:
;
:
.
Задача 4. Требуется рассчитать статически неопределимую раму постоянной жесткости (рис. 3.23 а).
Решение. Для выбора рационального метода расчета вначале найдем общее число неизвестных по методам сил и перемещений.
Степень статической неопределимости -
.
Степень кинематической неопределимости -
.
Таким образом, рама четыре раза статически и три раза кинематически неопределима. Основные системы для методов сил и перемещений показаны на рис. 3.23 б, в соответственно.
а |
![]() | б |
![]() |
в |
![]() | г |
![]() |
Рис. 3.23
Определение общего числа неизвестных по смешанному методу. Для удобства подсчета мысленно проведем сечение 1 (рис. 3.23 г), «разделяющее» раму на две части, одна из которой обладает высокой статической, а другая высокой кинематической неопределимостью. В данном случае это будут нижняя и верхняя части соответственно. Результаты подсчета представим в табл. 6.
Таблица 6
Метод сил | Метод перемещений | Смешанный метод |
Верхняя часть | ||
Нижняя часть |
Как видно из данной таблицы, для верхней части более выгодным является метод сил, а для нижней - метод перемещений. Таким образом, рациональным является смешанный метод расчета. Окончательно имеем два неизвестных по смешанному методу: одно (по методу сил) в верхней части рамы и одно (по методу перемещений) в нижней ее части. Если применять только метод сил или только метод перемещений, то число неизвестных будет большим.
Основную систему смешанного метода получим из заданной следующим образом: одновременно «отбросим» лишнюю связь (вертикальный опорный стержень) в верхней части рамы и введем дополнительную связь (упругую заделку) в узел 3 ее нижней части (рис. 3.23 г). Неизвестными приняты реакция в связи 6 и угол поворота
узла 3.
Составление канонических уравнений. Эквивалентность основной системы (рис. 3.23 г) заданной (рис. 3.23 а) выражается системой уравнений
Первое уравнение отрицает перемещение по направлению «отброшенной» связи, а второе - полную реакцию в дополнительной связи (заделке) от совместного действия ,
и заданной нагрузки.
Коэффициенты ,
называются смешанными. Коэффициент
определяется из условия равновесия узла 3 с дополнительной связью, а
- из теоремы о совместности реакций и перемещений, согласно которой
. Смешанные коэффициенты метода сил
могут быть определены также и методом векторной алгебры. Для этого искомое перемещение
представляем в виде единичного вектора, величина которого равна его моменту относительно точки вращения.
Построение единичных и грузовых эпюр в основной системе. В нижней части рамы, состоящей из статически неопределимых балок, единичные и грузовая эпюры строятся с использованием табличных решений, в верхней части (статически определимой) - методом сечений, рис.3.24.
Коэффициенты канонических уравнений находим из условия равновесия узлов с дополнительными связями (рис. 3.25):
;
;
.
а | б | в |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 3.24
а |
![]() | б |
![]() | в |
![]() |
Рис. 3.25
Коэффициенты метода сил определяем перемножением эпюр, используя интеграл Мора и правило Верещагина. Исключение составляют смешанные коэффициенты метода сил
, которые удобнее находить из зависимости
:
;
;
.
Система канонических уравнений решается любым из методов линейной алгебры (определителей, подстановки, Гаусса и др.)
Окончательно имеем
,
.
Действительную эпюру моментов строим в соответствии с принципом независимости действия сил (рис. 3.26):
.
а | б | в |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 3.26
Для проверки правильности эпюры вырежем узлы 3 и 5 (рис. 3.27).
а |
![]() | б |
![]() |
Рис. 3.27
Эпюры и
строятся так же, как и в методе перемещений (
,
- по значениям
из равновесия узлов рамы).
Задача 5. Рассчитать статически неопределимую раму (рис. 3.28 а) комбинированным методом.
а |
![]() | б |
![]() | ||
в | ![]() | ||||
Рис. 3.28
Решение. Разложим нагрузку на симметричную и кососимметричную составляющие (рис. 3.28 б, в). Число неизвестных для методов сил и перемещений показано в табл. 7 и на рис. 3.29 а, б.
Таблица 7
Метод расчета | Количество неизвестных | Всего | |
симметричных | кососимметричных | ||
Метод сил | |||
Метод перемещений | |||
Комбинированный метод |
На симметричную составляющую нагрузки раму рассчитаем методом перемещений и определим только симметричные неизвестные, т.к. кососимметричные равны нулю.
а |
![]() | б |
![]() |
Рис. 3.29
На рис. 3.30 а, б, в показаны соответственно основная система метода перемещений с учетом симметрии, единичная и грузовая эпюры в ней.
а |
![]() | б |
![]() |
в |
![]() |
Рис. 3.30
а | б |
![]() |
![]() |
Рис. 3.31 |
Каноническое уравнение записываем в виде
.
Коэффициенты вычисляем из условия равновесия узлов (рис. 3.31 а, б):
;
.
Решив уравнение
,
найдем перемещение .
Действительную эпюру изгибающих моментов от симметричной составляющей нагрузки построим, используя принцип наложения
(рис. 3.32 а, б):
.
а |
![]() | б |
![]() |
Рис. 3.32
На кососимметричную составляющую нагрузки раму рассчитаем методом сил, определяя только кососимметричное неизвестное, т.к. симметричные неизвестные обращаются в нуль.
Основная система, единичная и грузовая эпюры для расчета методом сил с учетом симметрии показаны на рис. 3.33 а-в.
Уравнение метода сил примет вид
.
Коэффициенты уравнения вычислим по правилу Верещагина и правилу Симпсона:
;
.
а |
![]() | б |
![]() | в |
![]() |
Рис. 3.33
Усилие в лишней связи найдем из уравнения
;
.
Действительную эпюру изгибающих моментов от кососимметричной составляющей нагрузки построим с помощью принципа наложения
(рис. 3.34 а, б):
.
а |
![]() | б |
![]() |
![]() |
Рис. 3.34
Действительную эпюру от заданной нагрузки построим сложением эпюр, полученных от симметричной и кососимметричной составляющих (рис. 3.35):
а | б |
![]() |
![]() |
Рис. 3.36 |
.
Проверка эпюры моментов для узлов рамы показана на рис. 3.36 а, б.
Эпюра строится по эпюре
, а эпюра
- по эпюре
.
Для систем, изображенных на рис. 1.12 б, в, подсчет неизвестных производить не будем. Для первой из них с учетом симметрии нагрузки предпочтительнее метод перемещений, а для второй - метод сил.
В системе, см. рис. 1.12 г, степень статической неопределимости ; степень кинематической неопределимости
. Наиболее эффективным при расчете является комбинированный метод.
Системы, показанные на рис. 1.12 д-ж, следует рассчитывать смешанным методом.
Основные системы с приложенными неизвестными методов расчета всех разобранных схем показаны соответственно на рис. 1.13 а-ж.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 5240 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!