Смешанный и комбинированный методы расчета статически неопределимых систем

При расчете многих рам (рис. 1.11 а), а также различных комбинированных систем, например в виде рам с элементами арочного типа
(рис. 1.11 б), использование какого-либо одного из классических методов (сил или перемещений) оказывается выгодным для одной части системы и невыгодным для другой. В этом случае рациональнее прибегать к методу сил для расчета одной части и методу перемещений для другой.

а

б

Рис. 1.11

Метод расчета, при котором одна часть неизвестных представляет собой силы, а другая - перемещения, получил название смешанного метода. Он является результатом синтеза методов сил и перемещений, используется для расчета стержневых систем, имеющих в одной части большое количество лишних связей и низкую степень кинематической подвижности, а в другой, наоборот, - небольшое число лишних связей и высокую степень кинематической подвижности.

Возникновение смешанного метода связано главным образом со стремлением уменьшить число основных неизвестных, а значит, и количество разрешающих алгебраических уравнений. В условиях ручного счета это обстоятельство было основным при определении трудоемкости расчета. В настоящий период при современном развитии ПЭВМ и наличии огромного числа всевозможных стандартных и универсальных программ решения систем линейных алгебраических уравнений и расчета различных стержневых систем оно потеряло свою актуальность. Тем не менее смешанный метод, как и методы сил и перемещений, используется для «ручного» расчета стержневых систем, имеющих сравнительно невысокую степень статической неопределимости.

Как было отмечено выше, основная система смешанного метода содержит элементы методов сил и перемещений одновременно. При расчете некоторых стержневых систем удобно комбинировать вышеназванные методы (без их объединения в одной основной системе). Подобный способ называют комбинированным способом расчета.

Он предназначен для расчета симметричных стержневых систем и заключается в разложении произвольной нагрузки на симметричную и кососимметричную составляющие, с последующим расчетом системы на действие каждой из них методами перемещений и сил соответственно. При этом рассматриваемая задача представляется в виде суммы двух более простых задач.

В заключение рассмотрим примеры выбора рационального метода расчета для схем статически неопределимых стержневых систем
(рис. 1.12). Для выбора рационального метода расчета найдем общее число неизвестных по методам сил и перемещений.

а		б
в		г
д		е		ж

Рис. 1.12

Для расчета системы (рис. 1.12 а) по методу сил ; по методу перемещений - . В случае действия на раму произвольной нагрузки наиболее рациональным будет комбинированный метод (рис. 1.13 а). При этом на симметричную составляющую нагрузки производится расчет методом перемещений (), а на кососимметричную - методом сил с использованием групповых неизвестных.

а			б
в		г
д		е		ж

Рис. 1.13

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,((((((((((((((((((((((((((((((

Продолжение табл. 4

Схема	Уравнения равновесия	Величина коэффициента
Состояние 3 (эпюра )	: ; :
Состояние 1 (эпюра )	: ;   :
Состояние 2 (эпюра )	: ;   :
Состояние 3 (эпюра )	: ;   :
Состояние 1 (эпюра )	:
Состояние 2 (эпюра )	:
Состояние 3 (эпюра )	:

Окончание табл. 4

Схема	Уравнения равновесия	Величина коэффициента
Грузовое состояние (эпюра )
		: ; :
Грузовое состояние (эпюра )
		: ; :
Грузовое состояние (эпюра )	:

Подставив значения коэффициентов в систему канонических уравнений, получим одно уравнение с симметричным неизвестным и систему двух уравнений с кососимметричными неизвестными, независимых друг от
друга:

;

В результате решения находим значения неизвестных:

, , .

Действительную (окончательную) эпюру (рис. 3.13 г) строим способом наложения, складывая грузовую и исправленные эпюры
(рис. 3.13 а-в).

а		б
в		г

Рис. 3.13

Выполняем статическую проверку эпюры . Для этого вырезаем узлы 4 и 5 на эпюре (рис. 3.14) и рассматриваем их равновесие.

а	б

Рис. 3.14

Задача 3. Для рамы (рис. 3.15) построить эпюры , , методом перемещений и выполнить необходимые проверки.

а		б
в

Рис.3.15

Решение. Определим число неизвестных метода перемещений. Число неизвестных углов поворота , так как заданная рама имеет два жестких узла. Для определения числа независимых линейных смещений врезаем во все жесткие узлы рамы (рис. 3.15 а), включая опорные, шарниры. В итоге рама превращается в шарнирно-стержневую систему (рис.3.15 б).

Для того чтобы преобразовать шарнирную схему в геометрически неизменяемую систему, достаточно ввести один опорный стержень, препятствующий горизонтальному смещению узлов 3, 4. Таким образом, заданная рама имеет одно независимое линейное перемещение: . Общее число неизвестных , т.е. рама трижды кинематически неопределима.

Образуем основную систему метода перемещений. Для этого введем в жесткие узлы 2, 3 дополнительные упругие заделки, препятствующие повороту узлов, а по направлению линейного смещения (вдоль ригеля рамы) - горизонтальную связь, препятствующую ему (рис. 3.15 в). Обозначим неизвестные: углы поворота упругих заделок - , , линейное смещение - (рис. 3.15 в).

Запишем систему канонических уравнений метода перемещений:

Для определения ее коэффициентов строим единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов в основной системе. Для единичных эпюр , , используем табл. 1, задавая упругим заделкам единичные углы поворота , по ходу часовой стрелки (рис. 3.16 а), а по направлению введенной линейной связи - перемещение (рис. 3.16 б). Грузовая эпюра имеется только на тех стержнях, к которым приложена внешняя нагрузка (рис. 3.16 в).

а		б
в		г

Рис.3.16

Найдем единичные и грузовые коэффициенты первого (, , , ), второго (, , , ) и третьего (, , , ) уравнений, рассматривая соответственно равновесие узлов 2, 3 и горизонтальной отсеченной части рамы. Результаты сведем в табл. 5.

Таблица 5

Схема	Уравнения равновесия	Величина коэффициента
Состояние 1 (эпюра )	:
Состояние 2 (эпюра )	:
Состояние 3 (эпюра )	:
Состояние 1 (эпюра )	:
Состояние 2 (эпюра )	:
Состояние 3 (эпюра )	:

Окончание табл. 5

Схема	Уравнения равновесия	Величина коэффициента
	Состояние 1 (эпюра )	:
	Состояние 2 (эпюра )	:
	Состояние 3 (эпюра )	:
	Грузовое состояние (эпюра )	:
	Грузовое состояние (эпюра )	:
	Грузовое состояние (эпюра )	:

Подставим значения коэффициентов в систему уравнений:

Решим систему уравнений, используя ПЭВМ:

; ; .

Проверим правильность решения, подставив его значения в систему уравнений:

Действительную (окончательную) эпюру строим сложением грузовой эпюры (рис. 3.16 г) и исправленных эпюр (рис. 3.17 а-в).

а		б
в		г

Рис.3.17

Выполним статическую проверку окончательной эпюры моментов . Для этого вырежем узлы 2, 3 (рис. 3.18 а, б) и рассмотрим их равно­весие.

а

б

Рис. 3.18

Рис. 3.19

Для кинематической (деформационной) проверки строим эпюру от силы в выбранной по методу сил основной системе (рис. 3.19). «Умножив» ее на окончательную эпюру , определим перемещение по направлению :

.

Погрешность равна .

Построим эпюры и . Определим поперечные силы, используя дифференциальные зависимости от :

.

Тогда

;	;
;	;
.

Продольные силы найдем по известным величинам поперечных сил, исходя из условий равновесия узлов рамы (рис. 3.20 а, б).

а

б

Рис. 3.20

Эпюры и показаны на рис. 3.21 а, б.

а

б

Рис. 3.21

Рис. 3.22

Выполним окончательные проверки эпюр , , (равновесие рамы в целом). Для этого рассечем раму замкнутым сечением на уровне опор и рассмотрим равновесие отсеченной части
(рис. 3.22).

Составим три уравнения равно­весия:

: ;

: ;

:

.

Задача 4. Требуется рассчитать статически неопределимую раму постоянной жесткости (рис. 3.23 а).

Решение. Для выбора рационального метода расчета вначале найдем общее число неизвестных по методам сил и перемещений.

Степень статической неопределимости -

.

Степень кинематической неопределимости -

.

Таким образом, рама четыре раза статически и три раза кинематически неопределима. Основные системы для методов сил и перемещений показаны на рис. 3.23 б, в соответственно.

а		б
в		г

Рис. 3.23

Определение общего числа неизвестных по смешанному методу. Для удобства подсчета мысленно проведем сечение 1 (рис. 3.23 г), «разделяющее» раму на две части, одна из которой обладает высокой статической, а другая высокой кинематической неопределимостью. В данном случае это будут нижняя и верхняя части соответственно. Результаты подсчета представим в табл. 6.

Таблица 6

Метод сил	Метод перемещений	Смешанный метод
		Верхняя часть
		Нижняя часть

Как видно из данной таблицы, для верхней части более выгодным является метод сил, а для нижней - метод перемещений. Таким образом, рациональным является смешанный метод расчета. Окончательно имеем два неизвестных по смешанному методу: одно (по методу сил) в верхней части рамы и одно (по методу перемещений) в нижней ее части. Если применять только метод сил или только метод перемещений, то число неизвестных будет большим.

Основную систему смешанного метода получим из заданной следующим образом: одновременно «отбросим» лишнюю связь (вертикальный опорный стержень) в верхней части рамы и введем дополнительную связь (упругую заделку) в узел 3 ее нижней части (рис. 3.23 г). Неизвестными приняты реакция в связи 6 и угол поворота узла 3.

Составление канонических уравнений. Эквивалентность основной системы (рис. 3.23 г) заданной (рис. 3.23 а) выражается системой уравнений

Первое уравнение отрицает перемещение по направлению «отброшенной» связи, а второе - полную реакцию в дополнительной связи (заделке) от совместного действия , и заданной нагрузки.

Коэффициенты , называются смешанными. Коэффициент определяется из условия равновесия узла 3 с дополнительной связью, а - из теоремы о совместности реакций и перемещений, согласно которой . Смешанные коэффициенты метода сил могут быть определены также и методом векторной алгебры. Для этого искомое перемещение представляем в виде единичного вектора, величина которого равна его моменту относительно точки вращения.

Построение единичных и грузовых эпюр в основной системе. В нижней части рамы, состоящей из статически неопределимых балок, единичные и грузовая эпюры строятся с использованием табличных решений, в верхней части (статически определимой) - методом сечений, рис.3.24.

Коэффициенты канонических уравнений находим из условия равновесия узлов с дополнительными связями (рис. 3.25):

; ; .

а	б	в

Рис. 3.24

а

б

в

Рис. 3.25

Коэффициенты метода сил определяем перемножением эпюр, используя интеграл Мора и правило Верещагина. Исключение составляют смешанные коэффициенты метода сил , которые удобнее находить из зависимости :

;

;

.

Система канонических уравнений решается любым из методов линейной алгебры (определителей, подстановки, Гаусса и др.)

Окончательно имеем

, .

Действительную эпюру моментов строим в соответствии с принципом независимости действия сил (рис. 3.26):

.

а	б	в

Рис. 3.26

Для проверки правильности эпюры вырежем узлы 3 и 5 (рис. 3.27).

а

б

Рис. 3.27

Эпюры и строятся так же, как и в методе перемещений (, - по значениям из равновесия узлов рамы).

Задача 5. Рассчитать статически неопределимую раму (рис. 3.28 а) комбинированным методом.

а		б
	в

Рис. 3.28

Решение. Разложим нагрузку на симметричную и кососимметричную составляющие (рис. 3.28 б, в). Число неизвестных для методов сил и перемещений показано в табл. 7 и на рис. 3.29 а, б.

Таблица 7

Метод расчета	Количество неизвестных	Всего
симметричных	кососимметричных
Метод сил
Метод перемещений
Комбинированный метод

На симметричную составляющую нагрузки раму рассчитаем методом перемещений и определим только симметричные неизвестные, т.к. кососимметричные равны нулю.

а

б

Рис. 3.29

На рис. 3.30 а, б, в показаны соответственно основная система метода перемещений с учетом симметрии, единичная и грузовая эпюры в ней.

а		б
в

Рис. 3.30

а	б

Рис. 3.31

Каноническое уравнение записываем в виде

.

Коэффициенты вычисляем из условия равновесия узлов (рис. 3.31 а, б):

;

.

Решив уравнение

,

найдем перемещение .

Действительную эпюру изгибающих моментов от симметричной составляющей нагрузки построим, используя принцип наложения
(рис. 3.32 а, б):

.

а

б

Рис. 3.32

На кососимметричную составляющую нагрузки раму рассчитаем методом сил, определяя только кососимметричное неизвестное, т.к. симметричные неизвестные обращаются в нуль.

Основная система, единичная и грузовая эпюры для расчета методом сил с учетом симметрии показаны на рис. 3.33 а-в.

Уравнение метода сил примет вид

.

Коэффициенты уравнения вычислим по правилу Верещагина и правилу Симпсона:

;

.

а

б

в

Рис. 3.33

Усилие в лишней связи найдем из уравнения

; .

Действительную эпюру изгибающих моментов от кососимметричной составляющей нагрузки построим с помощью принципа наложения
(рис. 3.34 а, б):

.

а

б

Рис. 3.35

Рис. 3.34

Действительную эпюру от заданной нагрузки построим сложением эпюр, полученных от симметричной и кососимметричной составляющих (рис. 3.35):

а	б

Рис. 3.36

.

Проверка эпюры моментов для узлов рамы показана на рис. 3.36 а, б.

Эпюра строится по эпюре , а эпюра - по эпюре .

Для систем, изображенных на рис. 1.12 б, в, подсчет неизвестных производить не будем. Для первой из них с учетом симметрии нагрузки предпочтительнее метод перемещений, а для второй - метод сил.

В системе, см. рис. 1.12 г, степень статической неопределимости ; степень кинематической неопределимости . Наиболее эффективным при расчете является комбинированный метод.

Системы, показанные на рис. 1.12 д-ж, следует рассчитывать смешанным методом.

Основные системы с приложенными неизвестными методов расчета всех разобранных схем показаны соответственно на рис. 1.13 а-ж.