Особенности расчета симметричных рам

При расчете симметричных рам (имеются в виду рамы, симметричные геометрически, по типу опирания и распределению жесткости) методом перемещений также, как и при расчете методом сил, можно использовать прием, называемый группировкой неизвестных. Он заключается в том, что при образовании основной системы метода перемещений дополнительные связи размещают симметрично, а их неизвестные перемещения группируют. Например, для рамы (рис. 1.3, а) основная система с групповыми неизвестными ( - симметричное, - кососимметричное) приведена на рис. 1.3 б.

а

б

Рис. 1.3

Данный прием позволяет обнулить ряд побочных коэффициентов, что приводит к разделению канонических уравнений на две отдельные группы. Одна из них будет содержать симметричные, а другая - кососимметричные неизвестные (рис. 1.4, 1.5).

В симметричной раме, находящейся под действием симметричной нагрузки, возникают только симметричные усилия и деформации,
рис. 1.4 а. В связи с этим при расчете следует искать симметричные неизвестные перемещения, рис. 1.4 б. При этом перемещения, приводящие к кососимметричным деформациям рамы (кососимметричные неизвестные), заведомо равны нулю. Отметим, что без учета симметрии рама трижды кинематически неопределима. Единичная и грузовая эпюры с учетом симметрии рамы показаны на рис. 1.4 в, г.

Эквивалентность основной и заданной систем выражается одним уравнением:

.

Обозначим реакции, возникающие в левой дополнительной связи (заделке), пометкой ‘, в правой – пометкой “. Тогда полные реакции в заделках будут определяться как суммы соответствующих компонентов:

, или ; .

а		б
в		г
д		е

Рис. 1.4

В случае действия симметричной нагрузки реакции и можно определить, рассматривая равновесие только одного узла рамы, например левого (рис. 1.4 д, е):

; .

При действии на симметричную раму кососимметричной нагрузки в ней возникают только кососимметричные неизвестные перемещения. При этом перемещения, приводящие к симметричным деформациям (симметричные неизвестные), заведомо равны нулю. Например, для рамы (рис. 1.5 а) при действии кососимметричной нагрузки основная система имеет вид, показанный на рис. 1.5 б. При этом система канонических уравнений запишется так:

а		б
в		г
д		е
ж		з
и		к

Рис. 1.5

Вырезая узлы рамы, например левый, и рассекая стойки замкнутым сечением в единичном и грузовом состояниях (рис. 1.5 в-д), определим единичные и грузовые коэффициенты канонических уравнений
(рис. 1.5 е-к):

: ; ; ;

: ; .

Если на симметричную раму действует произвольная нагрузка, то ее можно разложить на симметричную и кососимметричную составляющие с последующим решением двух отдельных задач либо с использованием приема группировки неизвестных.