Преобразования импульса и энергии

Полная энергия Е и импульс р не являются инвариантами. Действительно, обе величины зависят от u, скорость же в различных системах отсчета имеет неодинаковое значение. Выясним, как преобразуются энергия и импульс при переходе от одной системы отсчета к другой.

Рассмотрим элементарное перемещение некоторой частицы. Пусть в системе отсчета К это перемещение осуществляется за время dt, а компоненты перемещения равны

dx, dy, dz. В системе К¢ то же самое перемещение происходит за время dt ¢, а его компоненты равны dx¢, dy¢, dz¢. Между промежутками времени и компонентами перемещения имеются соотношения

dx = , dy = dy¢, dz = dz¢,

cdt =

Умножим эти формулы на массу частицы m и разделим на соответствующее промежуткам dt и dt¢ собственное время частицы dt (масса и собственное время являются инвариантными величинами, т.е. имеют одинаковое значение в обеих системах). В результате получим

(7.48)

m

mc

Согласно (5.7) m () = p _x, m () = p ¢_x, m () = p _y и т. д. В соответствии формулой (6.11) mc () = mc () = . С учетом этогоформулы(7.1) можно представить в виде

p _x = p _y = p¢ _y , p _z = p¢ _z ,

() =

Мы получили формулы, по которым преобразуются импульс и энергия частицы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Эти формулы похожи на формулы, по которым преобразуются координаты и время.

Из сопоставления формул следует, что компоненты импульса ведут себя при преобразованиях как координаты, а энергия – как время.

Можно представить математический аппарат релятивистской механики в виде соотношений между векторами в воображаемом четырехмерном пространстве (четырехвекторами). В трехмерном евклидовом пространстве величина

Δ l ² = Δ x² + Δ y ² + Δ z ²

является инвариантом, т.е. не изменяется при поворотах координатных осей. В противоположность этому величина

c ² Δ t ² + Δ x ² + Δ y ² + Δ z ²

оказывается неинвариантной – она не сохраняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (такой переход можно представить как поворот осей в четырехмерном пространстве). Следовательно, величина c ²Δ t ²+Δ x ² +Δ y ²+Δ z ² не обладает свойствами квадрата расстояния между двумя мировыми точками. Инвариантным является выражение

Δ s ² = c ² Δ t ² - Δ x ² - Δ y ² - Δ z ²,

которое и следует рассматривать как квадрат расстояния между двумя точками в интересующем нас четырехмерном пространстве.

Наделив четырехмерное пространство такими свойствами, мы можем рассматривать величины ct, x, y, z как компоненты четырехвектора, проведенного из начала координат в данную мировую точку. Соответственно с Δ t, Δ x,Δ y и Δ z можно рассматривать как компоненты четырехвектора – перемещения из одной мировой точки в другую. В трехмерном евклидовом пространстве, кроме радиуса-вектора и вектора перемещения, рассматриваются и другие векторы (скорости, ускорения, силы и т. д.), причем для любого вектора а величина

а² = а ²_х + а ²_у + а ²_z

является инвариантом. Компоненты любого такого вектора преобразуются при поворотах координатных осей по таким же формулам, как и координаты.

(7.49)

По аналогии с трехмерными векторами в евклидовом пространстве можно определить четырехмерные векторы. Под четырехмерным вектором понимают совокупность четырех величин а_t, a_x, a_y, a_z, преобразующихся по тем же формулам, что и ct, x, y, z. «Квадрат» такого вектора следует определить как

а ²_t – а ²_х – а ²_у – а ²_z.

Вследствие того, что компоненты преобразуются так же, как координаты, выражение (7.49) оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.

(7.50)

Совокупность величин

, p _x , p _y , p _z

образует четырехвектор. Его называют вектором энергии-импульса.

Образованное из компонент (7.50) выражение вида (7.49) является инвариантом:

()² – p ² _x – p ² _y – p ² _z = m ² c ².