Релятивистское выражение для энергии

В теории относительности сохраняется ньютоновское соотношение между силой и скоростью изменения импульса: d p / dt = F. Подставив выражение (7.27) для импульса, получим релятивистское уравнение движения

(7.37)

Произведя дифференцирование, придем к равенству

F

(при дифференцировании стоящую в знаменателе под знаком корня величину u² нужно представить в виде v ²). Производная d v / dt представляет собой ускорение частицы w. Поэтому последнее равенство можно написать в виде

F. (7.38)

Умножив обе части равенства скалярно на v, получим

vF.

Разрешив это уравнение относительно vw, подставив полученное значение в (6.2) и произведя преобразования, придем к формуле

w = ( (7.39)

Из формулы (7.39) следует, что в общем случае ускорение w не совпадает по направлению с силой F – кроме составляющей ускорения, направленной вдоль силы F, имеется составляющая, направленная вдоль скорости v. Вторая составляющая зависит от взаимной ориентации векторов F и v. Только в двух случаях ускорение коллинеарное силе. Во-первых, когда направления силы и скорости совпадают. В этом случае

w = F

(при получении этой формулы нужно учесть, что (vF) v = u Fv = u ² F). Во-вторых, когда сила перпендикулярна к скорости. В этом случае

w = F.

Уравнение (7.39) правильно описывает движение релятивистских частиц. Оно многократно подвергалось экспериментальной проверке в различных конфигурациях электрического и магнитного полей. Это уравнение является основой инженерных расчетов ускорителей элементарных частиц.

Из всего сказанного вытекает, что в релятивистской области масса перестает играть роль меры инертности тела. Более того, единой меры инертности для релятивистски движущихся частиц вообще не существует, поскольку сопротивление тела ускоряющей его силе зависит от угла между силой и скоростью.

Заметим, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Формулы преобразования компонент силы будут иметь вид:

F_x = _, F_y = F_z = (7.40)

(b = u ₀/ c, v¢ - скорость частицы в системе К¢). Если в системе К¢ действующая на частицу сила F ¢ перпендикулярна к скорости частицы v¢, скалярное произведение F ¢ v¢ равно нулю и первая из формул (7.40) упрощается следующим образом:

F_x = .

Умножим уравнение (7.37) на перемещение частицы ds = v dt. В результате получим

= F d s.

Правая часть этого соотношения дает работу d a, совершаемую над частицей за время dt. Работа результирующей всех сил идет на приращение кинетической энергии частицы. Следовательно, левая часть соотношения должна быть истолкована как приращение кинетической энергии Т частицы за время dt. Таким образом,

dT =

Преобразуем полученное выражение, приняв во внимание, что v d v = d (u² /2)

dT = v

Интегрирование полученного соотношения дает

T =

По смыслу кинетической энергии она должна обращаться в нуль при u = 0. Отсюда для константы получается значение, равное – mc ². Следовательно, релятивистское выражение для кинетической энергии имеет вид

T = - mc ² = mc ² (7.41)

В случае малых скоростей (u «c) формулу (7.41) можно преобразовать следующим образом:

T = mc ² .

Мы пришли к ньютоновскому выражению для кинетической энергии частицы. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской механики должны переходить в соответствующие формулы ньютоновской механики.

Рассмотрим свободную частицу (т.е. частицу, не подверженную действию внешних сил), движущуюся со скоростью u. Мы выяснили, что эта частица обладает кинетической энергией, определяемой формулой (7.41). Однако имеются основания приписать свободной частице, кроме кинетической энергии (6.5), дополнительную энергию, равную

E₀ = mc². (7.41)

Таким образом, полная энергия свободной частицы определяется выражением E = T +E₀ = T + mc². Приняв во внимание (7.41), получим, что

E = (7.42)

При u = 0 выражение (7.42) переходит в (7.41). Поэтому энергию E₀ = mc² называют энергией покоя. Эта энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого. Формулы (7.42) и (7.41) справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, состоящего из многих частиц. Энергия Е₀ такого тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра масс тела) и энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя, как и в полную энергию (7.42) (под полной энергией в релятивистской механике понимается сумма кинетической энергии и энергии покоя частицы), не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Исключив из уравнений (7.27) и (7.42) скорость u (уравнение (7.27) нужно взять в скалярном виде), получим выражение полной энергии частицы через импульс p:

E = c (7.43)

В случае, когда р «mc, эту формулу можно представить в виде

E = mc ²

Полученное выражение отличается от ньютоновского выражения для кинетической энергии Т = р² /2 m слагаемым mc².

Заметим, что из сопоставления выражений (7.27) и (7.43) вытекает формула

p = v. (7.44)

Поясним, почему свободной частице следует приписывать энергию (7.43), а не только кинетическую энергию (7.41). Энергия по своему смыслу должна быть сохраняющейся величиной. Соответствующее рассмотрение показывает, что при столкновениях частиц сохраняется сумма (по частицам) выражений вида (7.42), в то время как сумма выражений (7.41) оказывается несохраняющейся. Невозможно удовлетворить требованию сохранения энергии во всех инерциальных системах отсчета, если не учитывать энергию покоя в составе полной энергии.

Кроме того, из выражения (7.42) для энергии и выражения (7.35) для импульса удается образовать инвариант, т.е. величину, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца. Действительно, из формулы (7.41) вытекает, что

inv (7.45)

(напомним, что масса m и скорость с являются инвариантными величинами). Эксперименты над быстрыми частицами подтверждают инвариантность величины (7.45). Если под Е в (6.9) понимать кинетическую энергию (6.5), выражение (6.9) оказывается неинвариантным.

Получим еще одно выражение для релятивистской энергии. Из формулы преобразований Лоренца следует, что

(7.46)

где dt – промежуток времени между двумя происходящими с частицей событиями, отсчитанный по часам той системы отсчета, относительно которой частица движется со скоростью u, dt - тот же промежуток времени, отсчитанный по часам, движущимся вместе с частицей (промежуток собственного времени). Подставив (7.46) в формулу (7.43), получим выражение

E = mc^{2 .} (7.47)