Преобразование и сложение скоростей

Для операций преобразования и сложения скоростей, необходимо ввести следующие компоненты скорости частицы в некоторой системе K:

= , = , = (7.22)

Также введём компоненты скорости v` в системе K`:

= , = , = (7.23)

Для нахождения формул, которые связывают нештрихованные компоненты скорости со штрихованными, воспользуемся следующими преобразованиями Лоренца:

, , , (7.24)

В этих формулах заменим на , получим следующие формулы:

, , , (7.25)

Поделив первое равенство на четвёртое, получим следующее соотношение:

(7.26)

При помощи равенств (7.22) и (7.23) это соотношение можно представить в следующем виде:

(7.27)

Для того чтобы получить и , разделим в (7.25) второе и третье равенство на четвёртое, в результате чего получим два соотношения:

, (7.28)

По получившимся соотношениям и получают преобразования скоростей, когда переходят из одной системы координат К` к другой системе К. Из преобразований Лоренца (7.24) получим следующие формулы:

, , (7.29)

Именно по этим формулам производится преобразование скоростей при переходе из одной системы в другую.

Если «с, то наши формулы переходят в другие формулы, по которым преобразуются формулы в ньютоновской механике.

В основу формул преобразования скоростей положено предположение о том, что скорость света в вакууме одинакова во всех системах отсчёта.

7.6 Релятивистский импульс

Законы сохранения, как и другие законы природы, должны соблюдаться во всех инерциальных системах отсчета, т.е. быть инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца. Проверим, является ли инвариантным закон сохранения импульса, определяемого как произведение массы тела на его скорость: p = m v.

Рассмотрим абсолютно неупругое центральное соударение двух одинаковых частиц массы m (рис. 7.2). В системе К  частицы до соударения летят навстречу друг

	Рис. 7.2

другу параллельно оси x  со скоростями v ₁ = v ₀ и v ₂ = - v ₀. Модули обеих скоростей одинаковы и равны модулю относительной скорости систем К  и К (u ₁ = u ₀, u ₂ = u ₀). После соударения скорости частиц в системе К  равны нулю. Очевидно, что суммарный импульс частиц сохраняется в системе К  (до и после соударения он равен нулю). В этой системе компоненты скоростей частиц равны u _{1x } = , u _{2x } = - .

Перейдем в систему К. Согласно формуле (7.25)

Таким образом, до соударения проекция на ось x суммарного импульса частиц равна

. (7.30)

После соударения частицы покоятся в системе К , следовательно, движутся со скоростью u ₀ относительно системы К. Поэтому проекция суммарного импульса равна 2mu ₀.

Полученный нами результат означает, что в системе К закон сохранения импульса, определяемого как mu, не соблюдается. Только при условии, что скорости частиц много меньше с, отличием выражения (7.30) от 2m можно пренебречь. Отсюда следует, что определение импульса в виде mu пригодно только при условии, что u «с. Для скоростей, сравнимых со скоростью света в вакууме, импульс должен быть определен как-то иначе.

Попытаемся найти такое выражение для импульса, чтобы закон сохранения импульса был инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца. При этом будем иметь в виду, что при малых скоростях (u «с) релятивистское выражение для импульса должно переходить в ньютоновское выражение

p = m v= m . (7.31)

Предположим, что выражение для импульса частицы массы m имеет вид

p= mf (u)v, (7.32)

где v – скорость, u – модуль скорости частицы, а f (u) – некоторая безразмерная функция u. Для того чтобы при u «с выражение (7.32) переходило в (7.31), функция f (u) должна для таких скоростей практически равняться единице.

Рассмотрим абсолютно упругое соударение двух одинаковых частиц массы m в системе К _с их центра масс. В этой системе суммарный импульс частиц равен нулю. Следовательно, скорости частиц одинаковы по модулю и противоположны по направлению (рис. 7.3 а). В силу законов сохранения энергии и импульса скорости частиц после удара должны иметь тот же модуль, что и до удара, а направления скоростей должны быть противоположными.

Рис. 5.2

Выберем оси координат так, чтобы скорости частиц лежали в плоскости x y и располагались относительно оси x симметрично. Тогда соударение частиц в системе К _с будет выглядеть так, как показано на рис. 7.3 б.

Рис. 7.4

Перейдем от системы отсчета К _с к системе К, относительно которой частица 1 движется параллельно оси y. В этой системе соударение выглядит так, как показано на рис. 7.4 а. Рядом со стрелками, изображающими скорости или их составляющие по координатным осям, указаны модули соответствующих скоростей или составляющих.

Мы исходили из того, что суммарный импульс частиц сохраняется при соударении в системе К _с. Потребуем, чтобы закон сохранения импульса выполнялся и в системе К. Из рис. 7.3 а видно, что иксовая компонента суммарного импульса частиц в системе К в результате соударения не изменяется. Должна оставаться неизменной также игрековая компонента суммарного импульса частиц. С учетом (7.24) это запишется аналитически следующим образом:

Отсюда вытекает, что

(7.33)

Найдем связь между u и w. Для этого рассмотрим соударение в системе отсчета К¢, относительно которой частица 2 движется параллельно оси у¢ (рис. 7.4 б). Значения u, u и w на рис. 7.4 а и б одни и те же, так как вследствие симметрии задачи при переходе от системы К к системе К¢ частицы обмениваются скоростями.

.

Воспользуемся формулой преобразования игрековой компоненты скорости. В системе К ¢ игрековая компонента u ¢_у начальной скорости частицы 2 равна w, а иксовая компонента u ¢_х равна нулю. В системе К игрековая компонента u _у начальной скорости частицы 2 равна u. Относительная скорость u ₀ систем К¢ и К равна u. Итак, u _у = u, u¢ _у¢= w, u¢ _х¢ = 0 и u ₀ = u. Подставив эти значения в первую из формул (7.28), получим искомую связь между u и w:

u = w

Подстановка этого значения u в равенство (7.30) дает, что

. (7.34)

Пусть w (а значит, и u) много меньше с, в то время как u порядка с (частицы летят почти параллельно оси х). Тогда f (w) можно положить равной единице, а считать равным u. Саму же скорость u можно рассматривать не как составляющую скорости частицы по оси х, а как ее модуль. В этом случае соотношение (7.26) принимает вид

1= f (u) ,

откуда

f (u) = .

Подстановка этой функции в (7.24) приводит к релятивистскому выражению для импульса:

p = . (7.35)

Выражение (7.35) можно представить в виде

p = , (7.36)

где dt - промежуток собственного времени частицы, за который она получает смещение d r. Отметим, что d r в формуле (7.36) есть перемещение частицы в той системе отсчета, в которой определяется импульс р; промежуток времени dt определяется по часам, движущимся вместе с частицей. Масса m представляет собой инвариантную и, следовательно, не зависящую от скорости тела величину.

Из (7.36) следует, что зависимость импульса от скорости оказывается более сложной, чем это предполагается в ньютоновской механике. Это следует из того, что при u «c выражение (7.28) переходит в ньютоновское выражение p = m v.

Проверим на примере, рассмотренном ранее, инвариантность закона сохранения импульса, определяемого формулой (7.36). В системе К¢, очевидно, сумма релятивистских импульсов частиц равна нулю как до, так и после соударения. В системе К проекция на ось х суммарного импульса частиц до соударения равна

= =

Если считать массу образовавшейся в результате абсолютно неупругого соударения составной частицы равной 2m, то вычисленный по формуле (7.36) суммарный импульс после соударения окажется равным

.

Таким образом, мы пришли к обескураживающему результату: в системе К импульс после соударения отличается от импульса до соударения.

Причина кажущегося несохранения импульса в системе К заключается в том, что масса М составной частицы равна не 2m, а Соответственно вычисленный по формуле (7.36) импульс после соударения будет равен

т.е. совпадает с импульсом до соударения.