Преобразования Лоренца

Рассмотрим следующие две инерциальные системы отсчёта и

Рис. 7.1.

обозначим их К и К’. Скорость V - это скорость с которой К’ движется относительно К. Системы К и К’ движутся совершенно равноправно в силу принципа относительности. Оси X и X` совпадают с вектором V<sub>0</sub>. А оси y и y`, а также оси z и z` параллельны друг другу.

В системах К и К` иксовые координаты изменяются по следующим законам:

, (7.1)

Наличие знака “-“ во втором законе обуславливается тем, что системы К и К` движутся, относительно друг друга, в противоположных направлениях.

Если в системе К` световой сигнал распространяется со скоростью в направлении вектора , то при помощи в системе К скорость сигнала будет равной .

Преобразования координат и времени от системы К и К` выглядят следующим образом:

, ,

, . (7.2)

Так как пространство и время однородные величины, то выше написанные формулы должны быть линейными:

(7.3)

где - константы. Продифференцируя это выражение, получим

(7.4)

Согласно формулам (7.2), получим следующее выражение

(7.5)

и т.д.

При выборе координатных осей на нашем рисунке плоскость y=0 совпадает с плоскостью y`=0, а плоскость z=0, в свою очередь, совпадает с плоскостью z`=0. Из этого следует, что координаты, например y и y`, обращаются в нуль одновременно и не зависят от значений координат и времени. Следовательно, y и y` могут быть связаны соотношением:

, (7.6)

где - константа. А так как системы К и К` равноправны, то обратное соотношение имеет вид:

(7.7)

Перемножая эти два соотношения, получим , откуда . Плюс перед единицей соответствует одинаково направленным осям y и y`, минус – противоположно направленным осям. При одинаковом направлении осей получаем, что

(7.8)

Аналогичным образом получим, что

(7.9)

Теперь обратимся к преобразованию x и t. По формулам (7.8) и (7.9) видно, что значения y и z не зависят от x` и t`. Соответствующим образом, значения x и t не зависят от y` и z`. Следовательно, x и t могут быть линейными функциями только x` и t`.

Начало координат системы К имеет координату , а в системе К` . Таким образом выражение обращается в нуль одновременно с координатой . Тогда линейное преобразование имеет вид:

(2.10)

где - некоторая константа.

Начало координат в системе К` имеет такую же координату, а в системе К - . Получим, что

(2.11)

Для того чтобы найти коэффициент воспользуемся постоянством скорости света. Начальный отсчет будем отсчитывать с того момента, когда начала координат системы совпадают. В некоторый момент времени в направлении осей и передаётся световой сигнал, воспроизводящий вспышку света на экране, расположенном в точке с координатой в системе К и с координатой в системе К`. Это вспышка описывается следующим образом: (2.12)

Подставив эти значения в (2.10) и (2.11), получим

Перемножая эти соотношения, придём к следующему уравнению:

Отсюда получим, что (2.13)

Подставим это выражение в (2.10) и прейдем к формуле

(2.14)

Данная формула позволяет нам по известным значениям и высчитать значение . Для того чтобы по известным и найти значение , исключим из (2.10) и (2.11) координату и разрешим получившееся соотношение относительно :

.

Подстановка значения(7.13) для приводит к формуле:

(7.15)