Свойства дисперсии. 1. для любой константы c

1. для любой константы c.

2. для любой константы c.

Замечание. Длявычисления дисперсии удобно использовать следующую формулу

. (2.16)

Следовательно, из формул (2.15) и (2.16) следует, что

. (2.17)

3. Для независимых случайных величин X и Y:

.

4. Для независимых случайных величин X и Y:

.

Пример 2.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной в примере 2.1.

Решение. В примере 2.3 мы уже вычислили математическое ожидание величины X: . Применяя формулу (2.15), получим

.

В силу формулы (2.5), среднее квадратическое отклонение равно .

Ответ: , .

Пример 2.6. Дискретная случайная величина X распределена по закону

X
P	0,5	0,3

Зная, что , найти и , построить многоугольник распределения и вычислить дисперсию.

Решение. Используя уравнения (2.8) и (2.11), получаем

.

Теперь построим многоугольник распределения:

Найдем , используя формулу (2.15):

.

Ответ: , , .

Пример 2.7. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения , и , причем . Вероятности этих значений , , . Найти закон распределения X, если , .

Решение. Из формулы (2.8) следует, что . Поэтому . Следовательно, закон распределения X имеет вид

X
P	0,3	0,2	0,5

Найдем математическое ожидание:

.

По условию, . Следовательно,

. (2.18)

Кроме того, найдем :

.

Так как , получаем

. (2.19)

Объединяя уравнения (2.18) и (2.19), получаем

Решая эту систему, находим два решения , и , . По условию, , поэтому , .

X
P	0,3	0,2	0,5

Ответ:

Пример 2.8. Независимые случайные величины X и Y заданы следующим образом

X
P	0,1	0,9

Y	–1
P	0,6	0,4

Составить законы распределения случайных величин и и найти их математическое ожидание.

Решение. 1) Случайная величина принимает возможные значения , где , . Так как , , возможные значения . Действительно, , , , . Соответствующие вероятности вычисляются следующим образом: . Например, Z принимает значение только при , . Поэтому

.

Аналогично, Z принимает значение только при , . Поэтому

.

Если Z принимает свое значение при различных комбинациях значений X и Y, то вероятность получается сложением вероятностей отдельных комбинаций x и y, для которых . Например, Z принимает значение при , и при , . Поэтому

Следовательно, получаем закон распределения :

Z = 2 X - Y
P	0,04	0,42	0,54

Проверка: .

Теперь найдем , используя формулу (2.11):

.

Тот же результат получим, используя свойства математического ожидания (см. раздел 2.7.1):

,

так как

и .

2) Случайная величина принимает возможные значения , где , . Так как , , то возможные значения . Действительно, , , , . Соответствующие вероятности вычисляются следующим образом:

;

;

;

.

Следовательно, закон распределения имеет вид

Z = X Y	-3	-2
P	0,54	0,06	0,04	0,36

Проверка: .

Теперь найдем , используя формулу (2.11):

.

С другой стороны, тот же результат получим, используя формулу (2.14):

,

так как , .