Примеры. 1. Даны координаты точек: Выяснить, пересекаются ли отрезки и

1. Даны координаты точек: Выяснить, пересекаются ли отрезки и

Решение. Напишем уравнения отрезков и :

Эти отрезки имеют общую точку тогда и только тогда, когда имеет решение система уравнений:

(8) Так как координаты векторов

то уравнение системы (8) в координатной форме имеет вид:

Решением этой системы уравнений являются числа: Так как значение не принадлежит , то отрезки и не пересекаются.

2. Аффинное множество задано системой линейных уравнений

Написать уравнение прямой, не имеющей общих точек с множеством

Решение. Как следуетиз теоремы 2.19, прямая не имеет общих точек с аффинным множеством если, во-первых, т.е. вектор является решением уравнения , и, во-вторых, т.е. точка не является решением уравнения .

Вектор решение уравнения а точка не является решением уравнения . Следовательно, прямая или

не имеет общих точек с множеством ●

Задачи

1. Доказать, что две пересекающиеся прямые в пространстве содержатся в двумерном аффинном множестве.

2. Доказать, что две прямые в пространстве , направляющие векторы которых пропорциональны, содержатся в двумерном аффинном множестве.

3. Доказать, что наименьшее аффинное множество, содержащее две прямые, которые не пересекаются и направляющие векторы которых не пропорциональны, имеет размерность больше двух.

4. Прямая и аффинное множество имеют две общие точки. Будет ли прямая принадлежать аффинному множеству?

5. Доказать, что множество в пространстве будет аффинным, если оно содержит каждую прямую, проходящую через две различные точки из множества .

6. Даны параметрические уравнения прямых:

Построить аффинное множество наименьшей размерности, содержащее эти прямые.

7. Задать две прямые, которые не содержатся в двумерном аффинном множестве.

8. Прямая и аффинное множество имеют общую точку. Направляющий вектор прямой принадлежит подпространству L . Доказать, что прямая содержится в аффинном множестве

9. Прямая содержит точку, которая не принадлежит аффинному множеству . Будет ли прямая иметь общие точки с аффинным множеством, если направляющий вектор прямой не принадлежит направляющему подпространству L ?

10. Найти параметрическое уравнение прямой, принадлежащей аффинному множеству, заданному уравнением

2. Гиперплоскости в пространстве

Аффинное множество в пространстве , размерность которого равна , называетсягиперплоскостью.

В пространстве прямые являются гиперплоскостями. В самом деле, размерность направляющего подпространства прямой равна единице. Следовательно, где

В пространстве плоскости являются гиперплоскостями. Действительно, размерность направляющего подпространства плоскости равна двум. Отсюда где

□Теорема 2.20. Справедивы следующие утверждения.

1.Н енулевой вектор перпендикулярен гиперплоскости тогда и только тогда, когда . Ненулевые векторы и , перпендикулярные гиперплоскости , коллинеарны.

2. Множество решений уравнения , является гиперплоскостью, перпендикулярной вектору .