Частотные критерии качества САР

Частотные критерии качества позволяют судить о качестве переходных процессов по частотным характеристикам системы. При этом могут быть использованы частотные характеристики замкнутой системы. Так, по амплитудным частотным характеристикам можно оценить колеба­тельность и длительность переходной характеристики системы.

Между частотными характеристиками системы и видом переходной характеристики существует определенная связь. Ранее был рассмотрен ряд динамических и статических показателей качества. О некоторых пока­зателях качества системы можно судить по виду амплитудно-частотной характеристики . Так, например, для системы второго по­рядка (колебательного звена) характеристика A(ω) имеет вид (рис. 7.3). Для системы второго порядка коэффициент затухания однозначно связан с максимумом амплитудной характеристики A _max (ω). Величина этого макси­мума имеет место при резонансной частоте ω_p.

Под полосой пропускания ω_n, определяющей способность систе­мы правильно воспроизводить входной сигнал, понимают частоту ω_n на которой характеристика 20lg A(ω) уменьшается на 3 дБ относительно её значения на низких частотах. Эта величина может быть получена при A(ω) = 0,707.

Между резонансной частотой ω_p, полосой пропускания ω_n,и скоростью нарастания переходной характери­стики есть определенная связь.

В.В.Солодовников установил зависимость показателей качества САР от вида вещественной частотной характеристики замкнутой системы P(ω), а значит и вида зависимости A(ω).

1. Колебательность определяется по величине относительного мак­симума характеристики, которая называется показателем колебательно­сти (рис 7.4).

При М<1- переходная характеристика системы монотонная. При уве­личении M повышается колебательность системы. При M→∞ колеба­тельность возрастает до получения незатухающих колебаний, соответст­вующих нахождению, системы на границе устойчивости. Действительно, т.к. , при A(ω) →∞передаточная функция замкнутой системы

имеет пару сопряженных мнимых корней, а поэтому в системе суще­ствуют незатухающие колебания с частотой ω_p, Обычно считают опти­мальным значением M =1,1-1,5. При этом переходная характеристика имеет слабую колебательность с частотой, близкой к ω_p.

2. Для того, чтобы перерегулирование не превышало 18% (σ≤18%), построчно иметь положительную, не возрастающую, вещественную частотную характеристику (рис. 7.4, б, кривая 2).

3. Перерегулирование может быть найдено (кривая 3)

(7.1)

4. Для обеспечения монотонности переходного процесса достаточно,

чтобы производная представляла собой отрицательную, убывающую по модулю, функцию (рис. 7.4, б, кривая 1).

5. Близким по форме вещественным частотным характеристикам со­ответствуют близкие переходные процессы.

6. Длительность переходного процесса определяется шириной час­тотной характеристики A(ω), а именно, чем шире частотная характеристи­ка системы, тем короче её переходная (временная) характеристика, т.е. тем меньше T_p.

Например, для инерционного звена первого порядка ширина АЧХ об­ратно пропорциональна постоянной времени T. В то же время T_P≈ЗT, т.е. прямо пропорционально Т.

Так, в первом приближении время T_p может быть оценено по величине резонансной частоты ω_p.

(7.2)

Если предположить, что переходная характеристика системы в тече­ние времени T_p имеет одно, два колебания

(7.3)

для монотонного переходного процесса (см. рис. 7.4, б, кривая 1)

(7.4)

В первом приближении длительность и колебательность переходной ха­рактеристики замкнутой системы могут быть оценены непосредственно по частоте среза и величинам запасов по фазе и амплитуде, определенным по ЛАЧХ разомкнутой системы. В случае колебательной переходной характери­стики резонансная частота ω_p (см. рис. 7.4, а) близка к частоте среза ω_с. По­этому значения T_M и T_p могут быть определены по формулам (7.2) и (7.3) при подстановке в них ω_p=ω_c.

Для не колебательной переходной характеристики

(7.5)

7. Доказано, что переходная характеристика имеет малую колеба­тельность, если запас по фазе составляет μ ≥30°, а запас по амплитуде h ≥6 дБ, что соответствует характеристике 2 (см. рис. 7.4, б).

Кроме того, колебательность считается допустимой, если на частоте среза, т.е. в точке пересечения с осью абсцисс, ЛАЧХ имеет наклон не более -20 дБ/дек. Причем, чем шире участок с таким наклоном, тем меньше коле­бательность. В частности, при ширине этого участка, равной примерно одной декаде, перерегулирование в системе не превышает 20-30%.

Высокочастотная часть ЛАЧХ не имеет существенного значения для ка­чества переходного процесса, сказываясь только в самой начальной его час­ти. Низкочастотная часть ЛАЧХ, прилегающая к нулевой частоте, определяет установившийся режим САУ. Порядок астатизма САР определяет наклон низкочастотной части ЛАЧХ (у статических САР он равен нулю, при первом порядке астатизма -20 дБ/дек, при втором -40 дБ/дек). Точность статических САР определяется величиной коэффициента усиления (20lg k).

8. Близкие по форме вещественные частотные характеристики P(ω) соответствуют мало отличающимся друг от друга переходным процессам.

9. Острые максимумы кривой P(ω) свидетельствуют о слабом затуха­нии переходных процессов. Чем больше величина максимума P(ω),тем больше время регулирования.