Системи диференціальних рівнянь

Достатньо часто для опису досліджуваних процесів не достатньо одного диференціального рівняння, а використовується їх сукупність.

Сукупність лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з невідомими функціями від однієї незалежної змінної :

(29.14)

де коефіцієнти та вільні члени , () є функціями від , називається нормальною системою лінійних диференціальних рівнянь.

Якщо коефіцієнти системи (29.14) є сталими величинами, то така система називається системою диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Якщо , то система називається однорідною, у противному разі вона є неоднорідною.

Загальним розв’язком системи диференціальних рівнянь (29.14) називається сукупність функцій, що залежать від незалежної змінної та від довільних сталих :

(29.15)

що задовольняють усім рівнянням системи (29.14).

Якщо незалежну змінну позначити через , то система набуває вигляду

, (29.16)

де – похідна першого порядку за аргументом .

Задача Коші для системи диференціальних рівнянь полягає у визначенні такого розв'язку (29.15) системи (29.14), який задовольняє початковим умовам: , ,..., .

Одним із способів розв'язання системи є метод виключення, який передбачає виключення невідомих функцій, внаслідок чого система (29.16) може бути зведена до диференціального рівняння -го порядку відносно однієї з невідомих функцій.

Знайдемо розв'язок системи диференціальних рівнянь:

Це нормальна система лінійних диференціальних рівнянь. Застосуємо для її розв’язання метод виключення. Для цього необхідно одну із похідних визначити через іншу. Щоб мати можливість це зробити, продиференціюємо перше рівняння:

.

Враховуючи друге рівняння, маємо

.

За першим рівнянням системи визначаємо, що

,

тоді:

.

Отже, для визначення функції ми отримали однорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Відповідне характеристичне рівняння має вигляд: . Звідси визначаємо корені цього рівняння , . Тепер записуємо загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку для функції :

.

Тепер знаходимо функцію , підставивши у перше рівняння системи та , але спочатку знайдемо :

.

,

або

.

Отже, загальний розв'язок системи диференціальних рівнянь:

,

.

Розглянемо ще один метод розв’язування системи диференціальних рівнянь, який називається алгебраїчним.

Нехай задано систему диференціальних рівнянь першого порядку, кожне з яких розв’язане відносно похідної:

(29.17)

де – сталі величини, – невідомі функції .

Систему (29.17) можна записати як матричне рівняння:

,

де

, , .

Частинний розв'язок системи шукатимемо у вигляді сукупності показникових функцій:

, ,..., .

Підставляючи ці функції у систему (29.17), отримаємо систему лінійних рівнянь відносно .

(29.18)

Знайдемо визначник цієї системи:

. (29.19)

Якщо таке, що визначник , то система рівнянь (29.18) має тільки тривіальний розв'язок: .

Нетривіальний розв'язок система (29.18) матимемо лише при таких , при яких визначник (29.19) цієї системи дорівнюватиме нулю.

Отже, для визначення ми приходимо до рівняння -го порядку:

. (29.20)

Це рівняння називається характеристичним рівнянням системидиференціальних рівнянь, його корені – коренями характеристичного рівняння.

Розглянемо тільки випадок, коли корені характеристичного рівняння дійсні і різні (інші випадки не розглядаються через їх складність).

Для кожного кореня записують систему (29.18) і визначають коефіцієнти . Оскільки ранг матриці системи дорівнює , то один із коефіцієнтів можна вибрати довільно. Вважатимемо його рівним одиниці.

Тоді одержуємо розв'язок системи:

для :

, ,..., ;

для :

, ,..., ;

для :

, ,..., .

Систему частинних розв’язків

називають фундаментальною системою розв’язків на інтервалі , якщо визначник

не дорівнює нулю.

Розв’язки утворюють фундаментальну систему розв’язків. Відповідно, загальний розв'язок системи (29.17) має вигляд:

,

, (29.21) ,

,

де – довільні сталі.

Знайдемо загальний розв'язок системи диференціальних рівнянь:

Будемо шукати частинні розв'язки цієї системи у вигляді та . Для визначення невідомих коефіцієнтів цих функцій складаємо характеристичне рівняння:

,

звідки

.

Корені рівняння , .

При система (29.18) набуває вигляду:

Звідси .

Нехай , тоді .

Отже, маємо розв’язки:

, .

При система (29.18) набуває вигляду:

Звідси .

Покладаючи , отримаємо .

Тоді

, .

Таким чином, ми отримали фундаментальну систему розв’язків:

, ,

, .

Отже, загальний розв'язок системи має вигляд:

,

.

Випадки, коли корені характеристичного рівняння дійсні і однакові, а також уявні, розглядати не будемо. У цих випадках раціонально використовувати метод виключення.

Ключові терміни

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами; спеціальна права частина; метод невизначених коефіцієнтів; нормальна система лінійних диференціальних рівнянь; однорідна система диференціальних рівнянь; неоднорідна система диференціальних рівнянь; загальний розв’язок системи диференційних рівнянь; задача Коші для системи диференціальних рівнянь; метод виключення; алгебраїчний спосіб розв’язання: характеристичне рівняння системи диференціальних рівнянь; фундаментальна систему розв’язків.

Питання для самоперевірки

1. Сформулювати теорему про загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння.

2. Який загальний вигляд має лінійне неоднорідне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами?

3. Яку структуру має загальний розв'язок неоднорідного рівняння?

4. Як знайти частинний розв'язок неоднорідного рівняння, якщо спеціальна функція у його правій частині має вигляд:

а) ;

б) ;

в) ?

5. Як знайти частинний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння, якщо функція у його правій частині є сумою спеціальних функцій ?

6. У чому полягає метод варіації довільної сталої при розв'язанні диференціального рівняння другого порядку?

7. Дати поняття нормальної системи лінійних диференціальних рівнянь.

8. Що таке загальний розв’язоко системи диференціальних рівнянь?

9. Сформулювати задачу Коші для системи диференціальних рівнянь.

10. Поясніть метод виключення для розв'язання системи рівнянь.

11. Поясніть алгебраїчний метод знаходження розв'язку систем диференціальних рівнянь: