Частинні розв'язки неднорідного рівняння

Права частина рівняння	Корені характеристичного рівняння	Вигляд частинного розв'язку
де – багаточлен степеня	а) число 0 не є коренем характеристичного рівняння	– повний многочлен степеня з невизначеними коефіцієнтами
б) число 0 є коренем кратності характеристичного рівняння
	а) число не є коренем характеристичного рівняння
б) число є коренем кратності характеристичного рівняння
	а) число не є коренем характеристичного рівняння	де і –многочлени з невизначеними коефіцієнтами
б) число є коренем характеристичного рівняння
	а) число не є коренем характеристичного рівняння
б) число є коренем характеристичного рівняння

Знайдемо загальний розв’язок рівняння

Спочатку визначаємо загальний розв’язок однорідного рівняння:

.

Відповідне йому характеристичне рівняння має різні дійсні корені: . Їм відповідають два лінійно незалежних частинних розв’язки однорідного рівняння: і . Звідси маємо загальний розв’язок однорідного рівняння у вигляді:

.

Права частина вихідного рівняння містить функцію , яка є функцією виду , де , отже, частинний розв'язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді:

.

Знайдемо похідні:

У задане рівняння підставляємо і одержуємо:

або

Звідси маємо систему рівнянь відносно коефіцієнтів :

Розв'язавши цю систему, отримаємо, що .

Отже, частинним розв'язком даного рівняння є

.

Таким чином, загальний розв'язок рівняння має вигляд:

.

Знайти розв'язокрівняння .

Спочатку знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння, для чого складемо відповідне йому характеристичне рівняння: . Оскільки його коренями є , , то загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд:

.

Знайдемо частинний розв'язок неоднорідного рівняння. Оскільки права частина містить функцію , тобто вигляду

,

то частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді (табл. 29.1):

.

Для обчислення у вихідне рівняння підставляємо , , , де

.

Отримуємо тотожність:

або після групування

Складемо систему рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів, для чого прирівняємо коефіцієнти подібних членів у обох частинах тотожності, і маємо:

Отже, частинний розв'язок неоднорідного рівняння записуємо у вигляді:

,

тепер отримуємо загальний розв'язок вихідного рівняння

.

Знайдемо розв'язок рівняння .

Маємо неоднорідне рівняння. Складемо характеристичне рівняння, що відповідає однорідному рівнянню: . Його коренями є комплексно-спряжені числа . Відповідно, загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд:

.

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді:

,

оскільки для функції, що стоїть у правій частині рівняння, маємо та , тобто співпадає з коренями характеристичного рівняння.

Для знаходження підставляємо , , в рівняння, де

,

Коли частинний розв'язок підставляємо у вихідне рівняння, одержуємо тотожність, а саме:

або

.

Прирівнюємо коефіцієнти при і зліва і справа у цій тотожності і отримуємо систему рівнянь для знаходження :

Тоді . Отже, маємо загальний розв'язок неоднорідного рівняння:

.