Методом варіації довільних сталих

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку , права частина якого не має спеціального вигляду. У цьому випадку для його розв'язання застосовують метод варіації довільних сталих, або метод Лагранжа так само, як це застосовується для розв’язання неоднорідних диференціальних рівнянь першого порядку(див. розділ 27.5).

Запишемо загальний алгоритм застосування цього методу для випадку розв’язання диференціального рівняння другого порядку.

1⁰. Для однорідного рівняння знаходиться загальний розв'язок у вигляді:

(29.11)

де і – його частинні розв'язки.

2⁰. Загальний розв'язок неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді:

, (29.12)

де функції і визначаються із системи рівнянь

(29.13)

Знайдемо загальний розв'язок рівняння: .

Відповідне йому характеристичне рівняння має корені Тоді загальний розв'язок однорідного рівняння записуємо як

де – два його лінійно незалежні розв'язки.

Загальний розв'язок неоднорідного рівняння шукатимемо згідно з методом варіації довільних сталих у вигляді:

Функції і знайдемо із системи рівнянь:

Для розв'язання системи можна застосувати формули Крамера:

отже,

Інтегруючи одержані рівності, отримуємо:

і підставляючи і у загальний розв’язок однорідного рівняння, одержуємо загальний розв'язок неоднорідного рівняння:

.