Структура розв'язку лінійних неоднорідних рівнянь

Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами називається рівняння, яке має вигляд:

, (29.1)

де коефіцієнти – сталі.

Для знаходження загального розв’язку рівняння (29.1) використовують таку теорему.

Теорема 29.1. Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами знаходиться за формулою

. (29.2)

де – загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння, – деякий частинний розв’язок, який визначається виглядом правої частини неоднорідного рівняння, тобто функції .

Доведення. Нехай – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, а – деякий частинний розв’язок того же рівняння, але із правою частиною. Таким чином:

і . (29.3)

Склавши почленно рівняння (29.3) і врахувавши, що похідна суми дорівнює сумі похідних, одержуємо:

. (29.4)

Звідси видно, що функція буде розв’язком неоднорідного диференціального рівняння (29.1). Цей розв’язок є загальним, оскільки до нього входять дві незалежні довільні сталі і .

Отже, теорему доведено.

Таким чином, для визначення загального розв'язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами застосовують такий алгоритм:

1) знаходять загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння;

2) знаходять будь-який частинний розв'язок неоднорідного рівняння,, вигляд якого визначають за правою частиною цього рівняння;

3) знайдені розв'язки додають, одержана сума і буде загальним розв'язком неоднорідного рівняння.