![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами називається рівняння, яке має вигляд:
, (29.1)
де коефіцієнти – сталі.
Для знаходження загального розв’язку рівняння (29.1) використовують таку теорему.
Теорема 29.1. Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами знаходиться за формулою
. (29.2)
де – загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння,
– деякий частинний розв’язок, який визначається виглядом правої частини неоднорідного рівняння, тобто функції
.
Доведення. Нехай – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, а
– деякий частинний розв’язок того же рівняння, але із правою частиною. Таким чином:
і
. (29.3)
Склавши почленно рівняння (29.3) і врахувавши, що похідна суми дорівнює сумі похідних, одержуємо:
. (29.4)
Звідси видно, що функція буде розв’язком неоднорідного диференціального рівняння (29.1). Цей розв’язок є загальним, оскільки до нього входять дві незалежні довільні сталі
і
.
Отже, теорему доведено.
Таким чином, для визначення загального розв'язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами застосовують такий алгоритм:
1) знаходять загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння;
2) знаходять будь-який частинний розв'язок неоднорідного рівняння,, вигляд якого визначають за правою частиною цього рівняння;
3) знайдені розв'язки додають, одержана сума і буде загальним розв'язком неоднорідного рівняння.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 844 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!