Спеціальними правими частинами

Розглянемо окремі випадки частинних розв'зків рівняння залежно від вигляду правої частини рівняння (так звана, спеціальна права частина).

1. Права частина лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами є функцією , де – повний многочлен степеня . У цьому випадку можливі наступні ситуації:

а)число не є коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок шукатимемо у вигляді:

, (29.5)

де – повний многочлен того же степеня, що і . Коефіцієнти цього многочлена не можуть залишатись невідомими, оскільки загальний розв’язок вже містить дві довільні сталі. Ці коефіцієнти визначають шляхом підстановки частинного розв’язку (29.5) у неоднорідне рівняння (29.1). При цьому порівнюють коефіцієнти, що стоять при однакових степенях аргументу у лівій та правій частинах рівняння (29.1). Цей метод має назву методу невизначених коефіцієнтів.

б)число співпадає з одним із коренів характеристичного рівняння:

тобто . Оскільки у цьому випадку вираз (29.5) дає розв’язок, який є лінійно залежним по відношенню до однієї зі складових загального розв’язку, то деякий частинний розв’язок шукають у вигляді:

. (29.6)

в)число співпадає з кратним коренем характеристичного рівняння, тобто . Оскільки у цьому випадку і вираз (29.5), і вираз (29.6) дають лінійно залежні функції відносно складових загального розв’язку, то деякий частинний розв’язок шукають у вигляді:

. (29.7)

Знайдемо розв’язок диференціального рівняння

,

який задовольняє початковим умовам: ; .

Визначимо загальний розв’язок даного диференціального рівняння. Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, тому його загальний розв’язок складається із загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і будь-якого частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Знайдемо загальний розв’язок однорідного рівняння:

.

Складемо його характеристичне рівняння:

.

Це рівняння має різні дійсні корені ; , яким відповідають два лінійно незалежних частинних розв’язки однорідного рівняння: і . Тоді загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд:

.

Будемо шукати частинний розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді , оскільки .

Для знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. Підставимо функцію та її похідні та у вихідне неоднорідне рівняння. Маємо:

.

Отже, отримуємо загальний розв’язок неоднорідного рівняння:

.

Тепер знайдемо частинний розв’язок неоднорідного рівняння при початкових умовах: , . Знаходимо першу похідну

і підставляємо значення , , у вирази для та :

.

Звідси: , .

Отже, шуканий частинний розв’язок має вигляд:

.

Знайдемо розв'язок диференціального рівняння

.

Спочатку знаходимо загальний розв'язок однорідного рівняння, для чого складаємо відповідне йому характеристичне рівняння:

.

Знайдемо його корені:

, , .

Тодізагальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд:

.

Тепер знайдемо частинний розв'язок неоднорідного рівняння, правою частиною якого є функція , тобто . Враховуючи, що і співпадає з коренем характеристичного рівняння, складаємочастинний розв'язок у вигляді:

.

Для знаходження підставлямо , , у вихідне рівняння, де

,

Наступним кроком здійснюємо підстановку у вихідне рівняння;

порівнюємо коефіцієнти многочленів при однакових степенях лівої та правої частин рівняння.

Одержимо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів:

Розв'язком системи рівнянь є: , , .

Отже, частинний розв'язок рівняння набуває вигляду:

,

Тоді загальний розв'язок даного рівняння:

.

Якщо права частина неоднорідного диференціального рівняння (29.1) є сума двох спеціальних функцій , то частинний розв’язок цього рівняння визначають як суму частинних розв’язків рівнянь:

та

тобто .

Знайдемо загальний розв’язок рівняння

.

Спочатку знаходимо загальний розв’язок однорідного рівняння. Для цього записуємо відповідне йому характеристичне рівняння і знаходимо його корені: . Оскільки корені є кратними, то загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд:

.

Оскільки права частина даного рівняння є сума двох спеціальних функ-

цій та , то частинний розв'язок шукаємо як суму

двох функцій , , а саме

.

Взявши першу та другу похідні від функції та підставивши їх і саму функцію в початкове рівняння, отримаємо:

.

Прирівняємо коефіцієнти подібних членів обох частин рівняння і отримаємо систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів:

Звідси: , , . Отже, .

Таким чином, маємо загальний розв'язок:

.

2. Права частина лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами є функцією:

, (29.8)

де – сталі.

При такому вигляді функції можуть бути два випадки:

а) комплексно-спряжені числа не є коренями характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок має вигляд:

, (28.9)

де визначаються за методом невідомих коефіцієнтів із порівняння коефіцієнтів при і у лівій та правій частинах рівняння (29.1), якщо у це рівняння підставити частинний розв’язок та його першу та другу похідні;

б) комплексно-спряжені числа співпадають з коренями характеристичного рівняння. У цьому випадку:

, (29.10)

де визначаються за методом невідомих коефіцієнтів.

При знаходженні частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння пропонуємо користуватися таблицею (табл. 29.1).

Таблиця 29.1