Решение. 1. Рассчитаем . Так как катушка длинная, приближенно можно считать, что магнитное поле внутри катушки однородно

1. Рассчитаем . Так как катушка длинная, приближенно можно считать, что магнитное поле внутри катушки однородно, а векторы напряженности и индукции направлены вдоль оси катушки и имеют значения

,

.

Эти выражения вытекают из закона полного тока в предположении, что выполняется условие: .

Тогда

,

где – магнитный поток, с которым, будем считать, сцепляются все витки катушки (такое допущение является приближенным). Расчет по этой приближенной формуле дает несколько завышенное значение индуктивности. Более точный расчет и в центре соленоида (точка А на рис. 13.13) дает формула [3]

,

которая при и имеет вид

.

Последняя формула была использована выше.

2. Рассчитаем . Для приближенного расчета цилиндрический сердечник заменим эллипсоидом вращения (показан пунктиром на рис. 158), длинная полуось его равна , которая равна . Известно, что эллипсоид вращения в однородном магнитном поле намагничивается однородно, т.е. результирующее магнитное поле внутри него имеет одно и то же значение индукции, которое пропорционально внешнему полю (в данном случае полю ). Тогда, используя теорему о потоке [5], можно записать

.

Для случая эллипсоида вращения () в однородном поле [5]

,

где N – коэффициент размагничивания, – относительная магнитная проницаемость сердечника ().

Коэффициент N рассчитывается по формуле [6]

, (13.18)

где .

Следовательно,

.

Таким образом,

. (13.19)

Пусть мм, мм, , мм, мм. Для данного соотношения из (13.18) получаем . Расчет по формуле (13.19) дает следующий результат:

Гн.

Как видно из результатов расчета, введение сердечника в катушку увеличивает ее индуктивность почти в шесть раз.