Модель Маскета – Мереса

М.Маскет і М.Мерес запропонували її 1936 року. Вона описує одновимірну сумісну фільтрацію трьох фаз – нафти, газу та води.

Модель подано системою рівнянь, яка охоплює три рівняння руху, три рівняння нерозривності, рівняння балансу насиченості, а також залежності, що описують фазові переходи та зміну фізичних властивостей флюїдів від тиску. У цій моделі не враховуються капілярні сили.

Вуглеводнева багатокомпонентна суміш у цій моделі містить дві фази – рідинну (нафту) й газову. У процесі фільтрації внаслідок зниження тиску з нафти та води виділяється розчинений газ. Ці фазові переходи описуються законом Генрі:

; (12.91)

, (12.92)

де V _{грн о}, V _{грв о} – відповідно об’єм розчиненого газу в нафті та у воді за нормальних умов; V _{н о}, V _{в о} – об’єми нафти та води за нормальних умов; a_в, a_н – відповідно розчинність газу у воді і в нафті, яка є експериментальною функцією тиску р, тобто , (можна брати, наприклад , ; , – коефіцієнти розчинення газу в нафті та у воді).

Під час зведення до нормальних умов об’єми нафти та води змінюються. Ця зміна враховується об’ємними коефіцієнтами для нафти й води:

; , (12.93)

де V _н, V _в – об’єми нафти й води з розчиненим газом у них за пластових умов.

Переходячи від об’ємів рідин через масу до густини відповідно за пластових і нормальних умов, із виразів (12.93) маємо:

; . (12.94)

Газ рухається в пласті як у вільному, так і в розчиненому стані. При цьому газ, розчинений у нафті та воді, переноситься відповідно зі швидкостями фільтрації нафти v _н й води v _в.

Густина газу, розчиненого в нафті та воді, за пластових умов

; (12.95)

, (12.96)

де М _грн, М _грв – маси газу, розчиненого відповідно в нафті й воді; r_{г о} – густина газу за нормальних умов.

Тоді сумарна масова швидкість фільтрації газу (вільного та розчиненого)

, (12.97)

де r_г, v _г – відповідно густина та швидкість фільтрації вільного газу за пластових умов.

Рівняння руху подаємо рівняннями узагальненого закону Дарсі (без урахування капілярного тиску)

; (12.98)

; (12.99)

, (12.100)

де m_н, m_в, m_г – динамічні коефіцієнти в’язкості нафти, води та газу; k – коефіцієнт проникності пласта; , , – відносні коефіцієнти фазової проникності для нафти, води та газу, причому насиченості пор фазами задовольняють рівняння балансу насиченості

; (12.101)

– насиченості пор відповідно нафтою, водою та газом; g – прискорення вільного падіння; – перевищення точки х над деякою горизонтальною площиною.

Відносні коефіцієнти фазових проникностей визначаються з відомих трикутних діаграм. Оскільки s _г однозначно визначається згідно з рівнянням (12.101) через s _ні s _в, то в рівняннях руху записано, що відносні коефіцієнти фазових проникностей для всіх фаз є функціями тільки s _ні s _в.

Рівняння нерозривності для кожної фази набувають вигляду:

; (12.102)

; (12.103)

. (12.104)

Як видно з рівняння (12.102), масовий вміст нафти в одиниці об’єму пласта складає . Розділивши цю масу на , дістаємо об’єм нафти за нормальних умов ; помноживши на розчинність a_н – об’єм газу за нормальних умов ; помноживши на – масу розчиненого в нафті газу в одиниці об’єму пласта . Аналогічно записуємо масу розчиненого у воді газу в одиниці об’єму пласта. Тоді сумарну масу вільного та розчиненого газу в одиниці об’єму пласта записуємо так:

. (12.105)

Підставляючи і у рівняння (12.104), одержуємо рівняння нерозривності для газу в розгорнутому вигляді.

У рівняннях закону Дарсі й нерозривності потоку густини r_н, r_в виражають через об’ємні коефіцієнти в _н і в _в згідно з виразами (12.104), а також записують

, (12.106)

де в _г – об’ємний коефіцієнт газу.

Об’ємні коефіцієнти і динамічні коефіцієнти в’язкостей фаз беруться залежними від тиску.

Рівняння (12.98) – (12.100), (12.101), (12.102) – (12.104) складають замкнуту нелінійну систему рівнянь для визначення насиченостей , швидкостей фільтрації та тиску р. Система рівнянь нелінійна і по тиску, і по насиченостях. Розв’язується вона методом кінцевих різниць з використанням ЕОМ. Числові методи розв’язування задач підземної гідрогазомеханіки виділились уже у великий розділ – обчислювальна підземна гідрогазомеханіка, для розуміння якого потрібні глибокі і ґрунтовні математичні знання.

Модель Маскета – Мереса лежить в основі сучасних методик проектування розробки нафтових і нафтогазоконденсатних родовищ.